导数的简单应用——求切线、讨论单调性讲义-2024届高三数学一轮复习

导数与切线问题 【题型概述】 这一类题目主要考查导数的几何意义，利用导数几何意义求解与切线有关的问题. 需要熟记求导法则及导数的几何意义，并区别切线问题的几种类型. 【知识与方法】 1. 导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0. 2. 与切线有关问题的处理策略 (1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. 例如 曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线垂直于直线4y＝，则P0点的坐标为_____，首先求导，这是我们就设点坐标为，由已知条件推出，即，所以，则P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)。 (3)已知曲线切线经过点,求切点坐标或该切线方程。需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点代入切线方程，求x0.进而得切线方程 例1.（求切线方程）曲线y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为(　　) A．　　　　　　　　　　　 B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为y′＝，所以，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－1|×＝. 变式训练. 函数，已知曲线的切线过点，求切线方程. 【答案】y=0或y=x-1 【解析】此时设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，即再把点代入切线方程，求x0.解得，即切点坐标为，切线方程切线方程为y=0或y=x-1. 例2.（求切点坐标）曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　) A．(1,0) B．(2,8) C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4) 【答案】C 【解析】设P0(x0，y0)，则f′(x)＝3x2＋1，即f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以P0点的坐标为(1,0)和(－1，－4)，经检验，都符合题意．故选C. 变式训练. 曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线垂直于直线4y＝，则P0点的坐标为_____.【答案】(1,0)或(－1，－4) 【解析】首先求导，这是我们就设点坐标为，由已知条件推出，即，所以，则P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4). 例3.（求参数的值(范围)）设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1,2]　　　　　　　　 B．(3，＋∞) C． D． 【答案】D 【解析】由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，∵ex＋1＞1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则解得－≤a≤. 变式训练. 若曲线y＝x2与曲线y＝aln x在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则实数a＝(　　) A．－2 B. C．1 D．2 【答案】C 【解析】(1)y＝x2的导数为y′＝，在点P(s，t)处的切线斜率为，y＝aln x的导数为y′＝，在点P(s，t)处的切线斜率为，由题意知，＝，且s2＝aln s，解得ln s＝，s2＝e，故a＝1. 利用导数求函数单调区间 【题型概述】 这一类题主要利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间或是利用导数解决函数单调性的应用问题. 【知识与方法】 1．函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数；f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数． 2. 由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时， f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，