4.5.1函数的零点与方程的解导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 【学习目标】 　　1.了解函数的零点与方程解的关系,能结合函数图象初步认识方程的解、函数的零点、函数图象与x轴的公共点之间的关系. 　　2.了解函数零点存在定理,会结合具体的连续函数及其图象解释函数零点存在定理,并会利用定理识别函数在某个区间内是否存在零点,以及利用函数图象与性质判断函数零点的个数. ◆ 知识点一　函数的零点 定义:对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　　的实数x叫作函数y=f(x)的　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)f(x)=x2-1的零点是±1. (　 ) (2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0). (　 ) (3)任何连续函数都有零点. (　 ) (4)函数y=x3+1(x∈[0,2])有零点. (　 ) ◆ 知识点二　函数的零点、方程的实数解、函 数图象与x轴的交点的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的　　　　　,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的　　　　　　　　.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)　　　　　⇔函数y=f(x)的图象与　　　　　　　　.  ◆ 知识点三　函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条　　　　　　的曲线,且有　　　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　　,这个c也就是方程　　　　　的解.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)设f(x)=,因为f(-1)f(1)<0,所以f(x)=在[-1,1]内有零点. (　 ) (2)若f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)内无零点. (　 ) (3)若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0. (　 ) ◆ 探究点一　求函数的零点 例1 (1)函数y=2x2-3x+1的零点是 　　　　.  (2)设函数f(x)=21-x-4,g(x)=1-log2(x+3),则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)[2023·河南南阳高一期中] 函数f(x)=log3(x-1)-2的零点为 (　 ) A.10 B.9 C.(10,0) D.(9,0) (2)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 (　 ) A.,0 B.-2,0 C. D.0 [素养小结] 函数零点的常用求法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点. (2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. ◆ 探究点二　探求函数零点所在区间 例2 (1)函数f(x)=ln x+x-6的零点所在的区间为 (　 ) A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6) (2) 设f(x)=ex+3x-8,经计算得部分函数值的近似值如下表: x 1 1.25 1.5 2 2.25 f(x) -2.28 -0.76 0.98 5.39 8.24 据此可以判断方程ex+3x-8=0的根所在的区间是 (　 ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.(2,2.25)　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)根据下表中的数据,可以判断函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是 (　 ) x 1 2 e 3 5 ln x 0 0.69 1 1.1 1.61 3 1.5 1.1 1 0.6 A.(1,2) B.(2,e) C.(e,3) D.(3,5) (2)[2023·福建莆田一中高一月考] 函数f(x)=2x+x3-2的零点所在的区间是 (　 ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) [素养小结] 判断函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函数值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断. ◆ 探究点三　函数零点个数的有关问题 角度一　确定函数零点个数 例3 求函数f(x)=3x- lox的零点个数. 变式 (1)[2023·北京八一学校高一月考] 函数f(x)=-的零点个数为 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 [素养小结] 确定函数零点个数的方法 (1)分解因式法:可转化为一元n次