4.3.1对数的概念导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3　对数 4.3.1　对数的概念 【学习目标】 　　1.能说明对数的含义,解释对数的真数、底数的意义及其取值范围,明确对数与指数的关系,并能根据对数的定义进行指数式与对数式的互化. 　　2.了解常用对数与自然对数的概念与表示. 　　3.掌握对数的性质以及对数恒等式. ◆ 知识点一　对数的概念 1.定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作　　　　　　的对数,记作　　　　,其中a叫作对数的　　　　,N叫作　　　　.   2.以10为底的对数叫作　　　　,并把log10N记为　　　.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为　　　　,并且把logeN记为　　　　.   3.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,ax=N⇔　　　　.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)logaN(a>0,且a≠1)是loga与N的乘积. (　 ) (2)(-2)4=16可化为log(-2)16=4. (　 ) (3)对数式log32与log23的意义一样. (　 ) (4)对数运算的实质是求幂指数. (　 ) 2.在对数概念中,为什么规定a>0,且a≠1呢? ◆ 知识点二　对数的性质与对数恒等式 1.对数的性质:如果a>0,且a≠1,那么 (1)logaa=　　　　,语言表述为　　　　　　　　　　　;  (2)loga1=　　　　,语言表述为　　　　　　　　　　　;  (3)　　　　　没有对数.   2.对数恒等式为　　　　(a>0且a≠1,b>0).   【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对任意a∈R,均有logaa=1. (　 ) (2)对任意a>0,均有loga1=0. (　 ) (3)对任意b∈R,均有=b. (　 ) 2.你能推出对数恒等式=N(a>0且a≠1,N>0)吗? ◆ 探究点一　对数的概念 　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可化为对数式 C.以10为底的对数叫作常用对数 D.以e为底的对数叫作自然对数 (2)使对数log2(x-10)有意义的x的取值范围是　　　　　　.  (3)在对数式log(x-2)(4-x)中,实数x的取值范围是　　　　　　.  变式 求下列各式中实数x的取值范围. (1)log(2x-1)(3x+2);(2)lo(-3x+8). [素养小结] 对数有意义的两个条件:①底数大于0且不等于1;②真数必须大于0. ◆ 探究点二　指数式与对数式的互化 例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式. (1)5-2=;(2)8x=30;(3)3x=1;(4)lo9=-2; (5)x=log610;(6)x=ln ;(7)3=lg x. 变式 (1)已知logx16=2,则x等于 (　 ) A.4 B.±4 C.256 D.2 (2)(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　 ) A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=- C.log39=2与=3 D.log55=1与51=5 (3)[2023·海南海口中学高一月考] 已知a>0且a≠1,若loga2=m,loga3=n,则a2m+n=　　　　.  [素养小结] 对数式与指数式的关系:由对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.其关系如下表: 式子 名称 意义 a x N 指数式ax=N (a>0,且a≠1) 底数 指数 幂 a的x次幂等于N 对数式logaN=x (a>0,且a≠1) 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于x ◆ 探究点三　求对数值 例3 求下列各式的值. (1)log232;(2)lg 1000; (3)log4;(4)lo(3-2). 变式 已知a>0,且a≠1,若=,则a=　　　　,loa=　　　　.  [素养小结] 求对数logaN(a>0,且a≠1)的值的步骤:(1)设logaN=m;(2)将logaN=m写成指数式am=N;(3)将N写成以a为底的指数幂ab,则m=b,即logaN=b. ◆ 探究点四　利用对数性质或对数恒等式求值 例4 (1)求下列各式的值: ①log330=　　　　;②log77=　　　　;  ③lg(lg 10)=　　　　;④lg(ln e)=　　　　;  ⑤ln(lg 10)=　　　　;⑥ln(ln e)=　　　　;  ⑦0.=　　　　;⑧+e2ln 4=　　　　.  (2)求下列各式中x的值. ①ln(log2x)=0;②log2(lg x)=1; ③logx81=4;④=39; ⑤=x. 变式 (