圆锥曲线解答题常见题型总结讲义-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的范围问题 【题型概述】 圆锥曲线大题的常见题型之一，需要合理设直线的方程或点的坐标，再通过联立将目标用所设的变量表示，最后通过函数分析求取最值或范围。这类题目通常计算繁琐，以下给出一些例题。 例1.已知椭圆，为其短轴的一个端点，，分别为其左右两个焦点，已知三角形的面积为，且． （1）求椭圆的方程； （2）若动直线与椭圆交于，，为线段的中点，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，， ， 结合，， 故椭圆的方程为． 另解：依题意：，， 解得，，故椭圆的方程为． （2）联立 且，； 依题意， 化简得：（∵）； 设，由， 又，解得， ．当且仅当，即时，的最大值为． 变式训练1.已知点，直线，为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作直线（与轴不重合）交轨迹于，两点，求三角形面积的取值范围．（为坐标原点） 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设动点，则， 由，， 即，，化简得． （2）由（1）知轨迹的方程为，当直线斜率不存在时，， ， 当直线斜率存在时，设直线方程为，设，， 由，得． 则，，， ， 令，则， 令，则，当时，， 在上单调递增，，， 综上所述，三角形面积的取值范围是． 变式训练2.如图，已知抛物线和，过抛线上一点作两条直线与相切于、两点，分别交抛物线于、两点，圆心点到抛物线准线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率； （3）若直线在轴上的截距为，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）∵点到抛物线准线的距离为，∴，即抛物线的方程为． （2）∵当的角平分线垂直轴时，点，∴， 设，，∴，∴， ∴．． （3）设点，，． 以为圆心，为半径的圆方程为，……① 方程：．……② ①-②得：直线的方程为． 当时，直线在轴上的截距， ∵关于的函数在单调递增，∴． 变式训练3.已知点在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为2． 直线与抛物线交于，两点，且线段的中点为． （1）求直线的方程． （2）点是直线上的动点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）抛物线的准线方程为，，抛物线方程为， 设，，， 直线的方程为，即． （2），都在直线上，则，，设， 又，， ， 当时，的最小值为． 圆锥曲线中的定点问题 【题型概述】 圆锥曲线中的定点问题主要考查同学们利用参数法和由特殊到一般法得定点的能力. 这个过程对计算能力和式子变形能力有较高的要求. 【知识与方法】 1. 定点问题的求解策略： (1) 参数法：参数法解决定点问题的思路： i. 引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)； ii. 利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点． (2) 由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 2. 说明过定点的方法有： (1) 恒成立：求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2) 点斜式：由直线方程确定定点时，若得到了直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线的斜截式方程y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 例1.（参数法） 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝. (1) 求点P的轨迹方程； (2) 设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 【解析】(1)x2＋y2＝2. (2)证明：由题意知F(－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，[关键1：用参数表示P，Q的坐标及向量，] ·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n). 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，[关键2：在·＝1的前提下，证明·＝0] 即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. [关键3：利用平面内过一点作一直线的垂线的唯一性，即得直线l过点F] 例2.（由特殊到一般）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程； (2)设直线l不经过