5.4 三角函数的图象与性质（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

5．4三角函数的图象与性质（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）借助单位圆能画出三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值． （2）借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质，正切函数在上的性质． 【过程与方法目标】 （1）能根据正弦的定义，借助单位圆，在直角坐标系中作出图象上任意一点，并且能利用这一点的作图原理画出整个图象；会画一些简单三角函数的图象并会求其简单的性质． （2）通过观察正弦、余弦、正切曲线的图象，能说出它们在一个周期上的性质（单调性、最大（小）值、对称性、零点等），并能利用这些性质解决相关的问题． 【情感态度价值观目标】 使学生感受学习三角函数的图像与性质的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 对于正弦函数，如何根据其定义准确地绘制出函数图象上任意一点，这是一个难点．因为图象是函数的一种表示法，所以作函数图象的本质就是利用函数的对应关系作出图象上的点．第二个难点是周期性的理解．这是一个新的函数性质，本单元不仅要求学生结合三角函数了解周期性，还要抽象出周期函数的定义，并用定义解决问题，这对学生来说有一定难度．我们可以利用数形结合的思想方法突破这个难点． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约4课时 教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及其性质（包括周期性、奇偶性、单调性、最值）；研究函数图象与性质的一般思路和方法． 教学难点：作正弦函数的图象；周期函数、（最小正）周期的意义． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 问题1：前面学习了三角函数的定义、特有的性质，接下来我们要利用定义和这些特有性质研究三角函数的图象和性质．我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式来表示．它的含义是什么?根据这一特性，你觉得在研究正弦函数、余弦函数的图象与性质时可以怎样简化研究对象? 【破解方法】学生独立思考，小组讨论后全班交流，教师帮助完善． 环节二、抽象概念，内涵辨析 问题2：如何绘制正弦函数在区间上的图象呢?如果想更准确地绘制每一个点，应该怎么办? 【破解方法】学生想到的应该是列表一描点一连线的画图方法，教师应予以肯定． 问题3：如果在上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点? 【破解方法】根据正弦函数的定义，在单位圆上作为的终边与单位圆的交点，则点的纵坐标为．也就是说，点的纵坐标就是函数图象上点的纵坐标，再将之平移至处，就得到了点． 问题4：你能借助单位圆说一说当时，哪些自变量所对应的正弦函数值比较特殊? 【破解方法】学生独立思考后回答，不难发现，单位圆与坐标轴的交点是最特殊的，这样我们可以取五个点． 问题5：根据函数的图象，你能想象正弦函数的图象吗? 请你画出图象． 【破解方法】学生独立思考，说明依据并画图． 问题6：请你结合上述正弦曲线的作图过程思考，在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点? 【破解方法】教师提出问题，引导学生回顾从取5个点到12个点再到更多个点的过程． 问题7：余弦函数的图象怎么画呢?能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象? 【破解方法】教师帮助学生回顾之前的经验，然后由学生独立完成，之后展示交流，教师帮助修改完善． 设是函数图象上任意一点，则有． 令，则，即在函数图象上有对应点． 比较两个点：与．因为，即，所以点可以看做是点向左平移个单位得到的． 所以，只要将函数图象上的点向左平移个单位即可得到函数的图象 问题8：什么叫周期函数?什么叫周期?什么叫最小正周期?如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么?图象特征是什么? 【破解方法】学生通过阅读教科书，可以得到： 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期；如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期；周期函数的代数关系是． 问题9：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少? 【破解方法】学生回答，教师帮助学生完善． 问题10：为什么可以说且是正弦函数的周期?在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数? 【破解方法】学生独立思考后回答：根据诱导公式可知，当取正弦函数定义域内的任意一个自变量的值时，自变量的值每增加且个单位，函数值都会重复出现，所以且0）都是正弦函数的周期． 问题11：你能说出余弦函数的周期吗? 【破解方法】学生观察余弦函数图象并回答结论． 问题12：（1）观察正弦函数、余弦函数的图象，判断正弦函数、余弦函数的奇偶性分别是什么?如何根据函数奇偶性的定义进行证明?