5.3 诱导公式（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

5．3 诱导公式（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）． （2）初步应用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明． 【过程与方法目标】 （1）能从单位圆的几何性质出发提出值得研究的新问题，即单位圆与坐标系结合之后有哪些特殊对称性，将它们代数化之后能得到三角函数的哪些性质． （2）能根据三角函数式的特点，选择相应的公式进行化简、求值或者证明，并在此基础上抽象出求解此类问题的一般程序． 【情感态度价值观目标】 使学生感受学习诱导公式的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册一》（人教A版）第五章《三角函数》，本节主要是推导诱导公式二、三、四、五、六,并利用它们解决一些求值、化简、证明三角恒等式。课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角,学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习。 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约1课时 教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明． 教学难点：用描述法表示集合 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景1：前面我们借助单位圆定义了三角函数，并根据定义得出了公式一，这组公式非常形象地刻画了“周而复始”的变化规律．之后利用单位圆的几何性质，结合定义，获得了同角三角函数之间的基本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性． 问题1：在直角坐标系中能找到单位圆的哪些特殊对称性呢?如图，在直角坐标系内，若设任意角的终边与单位圆交于点，你能想到单位圆上点的哪些特殊对称点? 【破解方法】学生先独立思考，首先可能想到的对称性有： （1）点关于原点的对称点； （2）点关于轴的对称点； （3）点关于轴的对称点． 环节二、抽象概念，内涵辨析 问题2：如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点，作关于原点的对称点． （1）以为终边的角与角有什么关系? （2）角的三角函数值之间有什么关系? 【破解方法】由学生独立完成问题然后展示，师生一起整理思路、完善解答． 以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可． 设．因为是点关于原点的对称点，所以 根据三角函数的定义，得 【归纳新知】诱导公式二 问题3：类比问题2，你能解决下面的两个问题吗? （1）如果作点关于轴的对称点，那么又可以得到什么结论? （2）如果作点关于轴的对称点呢? 【破解方法】类比问题2，学生先自主完成，然后展示交流，师生共同修改完善． （1）如图，作点关于轴的对称点． 以为终边的角都是与角终边相同的角， 即． 因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可． 设．因为是点关于轴的对称点， 所以，． 根据三角函数的定义，得 （2）如图，作关于轴的对称点． 以为终边的角都是与角终边相同的角， 即． 因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可． 设．因为是点关于轴的对称点， 所以． 根据三角函数的定义，得 【归纳新知】 诱导公式三 诱导公式四 问题4：如图，点关于直线的对称点为，以为终边的角与角有什么关系?角与角的三角函数值之间有什么关系? 【破解方法】以为终边的角都是与角终边相同的角，即Z）．因此，只要探求角与的三角函数值之间的关系即可． 设，由于是点关于直线的对称点，因为，根据三角函数的定义，有 【归纳新知】 诱导公式五 问题5：再作关于轴的对称点，又能得到什么结论? 【破解方法】如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即． 因此，只要探求角与的三角函数值之间的关系即可． 设，由于是点关于轴的对称点，因此有： 根据三角函数的定义，得 【归纳新知】 诱导公式六 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 【例1】求下列各值． （1）； （2） ； （3）； （4） （5）； （6）； （7）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【对点训练1】求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． （4）； （5）． 【解析】（1） （2） （3） （4）． （5）原式 ． 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 【例2】已知，则 ． 【答案】/ 【解析】因为， 所以原式 故答案为：． 【对点训练2】在平面直角坐