专题27.7 相似三角形的八大经典模型-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题27.7 相似三角形的八大经典模型 【人教版】 【题型1 A字型】 2 【题型2 “8”字形】 3 【题型3 AX字型】 4 【题型4 子母型】 6 【题型5 双垂直型】 8 【题型6 一线三等角型】 10 【题型7 手拉手型】 13 【题型8 三角形内接矩形型】 16 【基本模型1-A字型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【题型1 A字型】 【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·四川成都·九年级校考开学考试）如图，在中，，．已知的面积为9，则阴影部分的面积为 ．    【变式1-2】（2023·安徽滁州·校考一模）在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接， ； 【变式1-3】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为 ．    【基本模型2-“8”字形】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【题型2 “8”字形】 【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，已知与相交于点A，，若，，，则 ．    【变式2-2】（2023春·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接交于点F，过点F作，交于点G．求的长．    【变式2-3】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，E，F为矩形内两点，，垂直，垂足分别为E、F，若，，，则（    ） A． B．5 C． D．6 【基本模型3-AX字型】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【题型3 AX字型】 【例3】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，M是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点F，与的延长线交于点H．    (1)图中相似三角形有______对； (2)若，求的度数． 【变式3-1】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，分别是的边上的点，，若，则 ．    【变式3-2】（2023春·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在矩形中，过作于点，交于点，连接若是中点，且，则的长为 ．    【变式3-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．    (1)求的值． (2)若， ①求证：． ②求证：． 【基本模型4-子母型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【题型4 子母型】 【例4】（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【变式4-1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA． 【变式4-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【变式4-3】（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【基本模型5-双垂直型】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【题型5 双垂直型】 【例5】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线