第11讲 任意角的三角函数-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第11讲 任意角的三角函数 【人教A版2019】 ·模块一 任意角和弧度制 ·模块二 三角函数的概念 ·模块三 课后作业 模块一 任意角和弧度制 1．角的概念的推广 (1)角：一条射线绕着端点(顶点)从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)所成的图形.其中顶点、始边、终边称为角的三要素. (2)角按其旋转方向可分为：正角(逆时针旋转),零角(没有旋转),负角(顺时针旋转). (3)在直角坐标系中讨论角： ①象限角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在第几象限就是第几象限角. ②轴线角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在坐标轴上，称之为轴线角. 2．终边相同的角 若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角. 一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 3．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 4．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 5．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【考点1 角的概念的推广】 【例1.1】（2023下·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 【例1.2】（2023下·江西萍乡·高一统考期末）下列说法正确的是（    ） A． B．一堂数学考试（120分钟）时针旋转60° C．1弧度的角大于1°的角 D．三角形内角必为第一或二象限的角 【变式1.1】（2023下·河北张家口·高一统考期中）下列与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023下·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；     ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2 角的终边的对称问题与垂直问题】 【例2.1】（2023下·北京·高一北京四中校考期中）是一个任意角，则的终边与的终边（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【例2.2】（2023上·黑龙江大兴安岭地·高一校考阶段练习）若角与的终边垂直，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023上·江苏扬州·高一校考期中）若，且角的终边与角的终边垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023下·上海黄浦·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【考点3 弧长公式与扇形面积公式的应用】 【例3.1】（2023下·山东潍坊·高一校考阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为，则其面积是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2022上·湖北武汉·高一校考期末）若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.1】（2022下·江苏宿迁·高一统考期中）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的