排列组合实际模型讲义-2024届高三数学一轮复习

排列组合实际模型 【题型概述】 考察各种有限制条件的排列组合问题，需要将实际情况建立为数学模型，并掌握常见的处理策略。 类型1 相邻问题 例1.已知A,B,C,D,E五个同学,按下列要求进行排列,分别求其满足条件的排列方法数. (1)把这五个同学安排到五个空位上且A,B必须相邻; (2)把这五个同学安排到五个空位上且A,B必须相邻,C,D,E也必须相邻; (3)把这五个同学安排到六个空位中的五个空位上且A,B必须相邻. 【答案】（1）48；（2）24；（3）240 【解析】（1）分两步.第一步:把A,B两个同学看作一个整体,看成一个“大元素”,和C,D,E共四个元素进行排列,其排列方法有种; 第二步.对捆绑到一起的A,B这两个同学内部排列,即“松绑”,其排列方法有种; 故根据分步乘法计数原理,符合题意的排列方法数有种. （2）分两步.第一步：把A,B两个同学看作一个整体，看成一个“大同学”，把C,D,E这三个同学看作一个整体，看成一个“大同学”，这两个“大元素”排成一列的方法数为种；第二步：对捆绑到一起的A,B这个“大元素”的内部排列，即“松绑”，其排列方法有种；对捆绑到一起的C,D,E这个“大元素”的内部排列，即“松绑”，其排列方法有种.故根据分步乘法计数原理，符合题意的排列方法数有=24种. （3）分两步.第一步：先看成A,B,C,D,E五个同学带着座位排列，而且满足A,B相邻的要求，由第（1）题可知，其排列方法有48种；第二步：把剩下的一个空位往已经坐好的五个同学中间（包括两端）插空，且不能插在A,B之间，其排列方法有种.故根据分步乘法计数原理，符合题意的排列方法数有48=240种. 【思维点睛】 解决“相邻”问题用“捆绑法”,将n个不同的元素排列成一排,其中k个元素排在相邻位置上,求不同排法种数的方法: （1）先将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体; （2）把整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种排法； （3）“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；（4）根据分布乘法计数原理，符合条件的排法有种. 变式训练.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有_________种.  【答案】36 【解析】产品A,B相邻时，不同的摆法有=48种.而A,B相邻，A,C也相邻时的摆法为A在中间，C,B在A的两侧，不同的摆法共有=12种.故产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48-12=36种. 类型二 定序问题 例2.有3名男生,4名女生,按下述要求,分别求出其不同排列的种数. (1)选其中5人排成一行; (2)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两头的位置; (3)全体排成一行,其中甲、乙必须在两头; (4)全体排成一行,其中甲不在首,乙不在尾; (5)全体排成一行,其中男生、女生都各不相邻; (6)全体排成一行,其中男生不能排在一起; (7)全体排成一行,其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保持不变; (8)全体排成一行,甲、乙两人间恰有3人; (9)全体排成前后两排,前排3人,后排4人. 【答案】（1）2520；（2）2160；（3）240；（4）3720；（5）144；（6）4320；（7）840；（8）720；（9）5040 【解析】（1）由排列的定义可知不同排列的种数为=2520. （2）首先在中间或两头之一排甲，共有种方法；其次在所剩的6个位置上对其余6人进行全排列，共有种方法，依分步乘法计数原理，所以有=2160种. （3）仿（2）先排甲、乙共种排法，其余5人尚有种排法，故共有=240种不同排法. （4）当乙排在首位时，共有种排法，当乙不在首位时，先排乙有种方法，再排甲也有种方法.最后其余各元素有几种方法，故有种不同排法.所有不同的排列种数为+=3720. （5）先排男生有种排法，此三人中间及两端恰有4空供女生排列，有种排法，从而共有=144种不同的排列. （6）从7人的全排列中出去男生皆相邻的情况即可，故所求不同排列种数为-=4320. （7）只需在7个位置中选4个位置将余下4人进行排列，再将甲、乙、丙3人按顺序插入，共有=840种不同排法. （8）先选3人排在甲、乙之间，有种排法，又因甲、乙排列有种，再将此5人看作一个元素与其余2人进行全排列有种，故共有=720种不同排法. （9）前后两排形势变化，顺序之实犹存，其排法仍有=5040种. 【变式训练】 有A,B,C,D,E五位学生参加网页设计比赛,决出了第一到第五的名次.A,B两位学生去问成绩,老师对A说,你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对B说,你是第三名,那么这五位学生的名次排列共有________种不同的可能. 【答案】18 【解析】B是第三名，有一种可能，接