第三章 圆锥曲线的方程（章末总结）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

章末总结 第 三 章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 01知识结构 PART ONE 知识结构 知识结构 02圆锥曲线的方程的应用 PART ONE 知识应用 1.圆锥曲线的定义及应用 例1.(1)一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(　) A．抛物线　　　　　 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．椭圆 (2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________． ＋＝1 C (3)已知动点M的坐标满足方程 ＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 C 知识应用 解:　(1)x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆， x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆． 设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，则 ⇒|PA|－|PO|＝1＜|AO|＝3， 符合双曲线的定义，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． (2)设椭圆方程为 ＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示， 则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4. 又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8， ∴椭圆C的方程为 ＋＝1. 知识应用 ∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等. ∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线. 知识应用 例2.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线. 解:设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1,O2. 将圆的方程分别配方,得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,以O1O2所在直线为x轴,其中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系. 当圆M与圆O1外切时,有|O1M|=R+2;　① 当圆M与圆O2内切时,有|O2M|=10-R.　② 将①②两式的两边分别相加, 得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|=6. 根据椭圆的定义,圆心M的轨迹是以O1,O2为焦点的椭圆,且a=6,c=3,b2=a2-c2=27. 故动圆圆心M的轨迹方程是+=1,且轨迹是焦点在x轴上,长、短半轴长分别为6、3的椭圆. 知识应用 【类题通法】 “回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． 知识应用 知识应用 知识应用 知识应用 知识应用 2.圆锥曲线的性质及应用 例3(1)若椭圆 ＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线 －＝1的渐近线方程为(　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x (2)已知双曲线 (a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　) A. ＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 A B 知识应用 解:(1)由椭圆的离心率e＝＝，可知 ＝，∴ ＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x. (2)由题意可得 ＝，即c＝a.又左焦点F(－c,0)，P(0,4)． 则直线PF的方程为＝，化简即得y＝x＋4. 结合已知条件和图象易知直线PF与y＝x平行， 则＝，即4a＝bc. 故解得 故双曲线方程为＝1. 知识应用 A 知识应用 知识应用 【类题通法】　 1.圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线(抛物线)． 2．椭圆的离心率，双曲线的离心率和渐近线，抛物线的焦点和准线，都是常考的性质，要熟练掌握． 知识应用 3.圆锥曲线中的定值、定点问题 知识应用 知识应用 知识应用 知识应用 【类题通法】 圆锥曲线中的定值、定点问题 (1)定值问题的常见类型及解题策略 ①求代数式为定值．依题