集合、逻辑用语、复数讲义-2024届高三数学一轮复习

集合间的运算 【题型概述】 集合的运算固定出现在前几题的位置，比较简单，考查并集、交集、补集的求法，考查运算求解能力。需要特别注意边界值是否取到，以及集合表达式中除了不等式外的其他限制。 【知识与方法】 名称 并集 交集 补集 意义 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 符号 图示 全集U：含有我们所研究问题中涉及的所有元素的集合。 例1. 设集合A={x|-1<x<2}, B={x|1<x<3},则A∪B = . 【解答】A∪B ={x|-1<x<3}，如下图： 【思维点睛】集合的基本运算是很基本的题型.需要熟练掌握集合的交集，并集，补集运算。首先将集合转化为区间形式，再配合数轴计算出结果. 例2. 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1} 【解析】选D.　由题意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}． 变式训练1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA＝(　　) A．(-2，2) B．(-∞，-2)∪(2，+∞) C．[-2，2] D．(-∞，-2]∪[2，+∞) 【解析】选C.运用补集的定义进行运算. 变式训练2. 已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝＋1}，那么A∩(∁UB)＝(　　) A． ∅ B．(0，1] C．(0，1) D．(1，＋∞) 【解析】 选C. 集合A为y＝lg x的定义域，即，集合B为y＝＋1的值域，即.因此A∩(∁UB)= (0，1).故选C. 变式训练3.已知集合，则（ ）. A. B. C. D. 【解析】选C.M=（0,3），（自然数）,所以M∩N={x∈Z|0<x<3}={1,2},故选C. 变式训练4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩（∁UB）＝（　　） A.（2，3] B．∅ C．[﹣1，0）∪（2，3] D．[﹣1，0]∪（2，3] 【分析】求出集合A，集合B，从而得到 ∁UB，由此能求出A∩（∁UB）． 【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}， 集合B＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}， ∴∁UB＝{x|x≤0或x＞2}， ∴A∩（∁UB）＝{x|﹣1≤x≤0或2＜x≤3}＝[﹣1，0]∪（2，3]． 故选：D． 条件的充分性与必要性 【题型概述】 此类题型通常统合多方面的知识点，但主要是两个思考命题之间互相证明的关系来求解。 【知识和方法】 充分条件与必要条件的定义 原命题 逆命题 条件p与结论q的关系 结　　论 真 假 p⇒q,且qp p是q的充分不必要条件 假 真 q⇒p,且pq p是q的必要不充分条件 真 真 p⇒q,且q⇒p,即p⇔q p是q的充要条件 假 假 pq,且qp p是q的既不充分也不必要条件 充分条件和必要条件的判断 （1） 根据定义判断：这个判断过程就是判断p，q两个条件充分性和必要性的过程.若由p推出q（p⇒q），说明了充分性，说明p是q的充分条件，同时说明q是p的必要条件；若由q反推出p（p⇐q），说明了必要性，说明p是q的必要条件，同时说明q是p的充分条件.想要说明p是q的充要条件，必须证明必要性（p⇒q）和充分性（p⇐q）. （2） 集合角度判断：如果命题表示为方程或不等式的解的形式，，则p⇒q等效为A⊆B；p⇐q等效为A⊇B；p是q的充要条件等效为A=B. （3）将条件判断转化为逆否问题 q是p的充要条件⇔p是q的充要条件 q是p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件 q是p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件 直接判断充分性和必要性比较困难时，可以通过以上方式，间接判断原条件的关系. 例1、设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】选B.a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0， 即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－，所以x＝2⇒a⊥b，反之 a⊥b⇒x