24.2.2 切线的判定与性质及切线长定理（10大题型）-【重要笔记】2023-2024学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

24.2.2 切线的判定与性质及切线长定理 切线的判定定理 　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注意：切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 题型1：切线的判定-连半径证垂直 1.如图，AB为的直径，AC平分交于点C，，垂足为点D．求证：CD是的切线． 【变式1-1】如图，为圆O的弦，交于点P，交过点B的直线于点C，且．试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由； 【变式1-2】如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 题型2：切线的判定-作垂直证半径 2.ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D． 求证：AC是O的切线． 【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切. 【变式2-2】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝ 弧BC，经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线于点D，连接BC，过点D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切线． 题型3：切线的判定多选项问题 3.下列说法中，不正确的是（　　） A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线 B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【变式3-1】下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③在同圆或等圆中相等的弦所对的圆周角相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等．其中不正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 切线的性质定理： 　　圆的切线垂直于过切点的半径. 注意：切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 题型4：切线的性质-求长度 4.如图，与的两边分别相切，其中OA边与相切于点P．若，，则OC的长为（　　） A．8 B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（    ）    A． B．7 C． D． 【变式4-2】如图，点A在第一象限内，与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连接，过点A作于点H． （1）求证：四边形为矩形． （2）已知的半径为4，，求弦的长． 题型5：切线的性质-求角度 5.如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O 上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【变式5-1】如图，为的切线，切点为点A，交于点C，点D在上，若的度数是，则的度数是 ．    【变式5-2】如图，为的直径，是的切线，切点为，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型6：切线的性质-求半径 6.如图，在Rt 中，∠A=90°，点O在AC上，⊙O切BC于点E，A在⊙O上，若AB=5，AC=12，求⊙O的半径． 【变式6-1】如图，A是外一点，与相切于点B，连接，交于点C．若，，求圆的半径．    【变式6-2】如图，平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为，若将向上平移，则与x轴相切时点 P坐标为（    ）      A． B． C． D． 切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.　 圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等. 注意： 　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段；切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 题型7：切线长定理-求周长 7.如图，△ABC是一张周长为18cm的三