专题1-4 一文搞定反比例函数7个模型，13类题型-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题1-4 一文搞定反比例函数7个模型，13类题型 知识点梳理 题型一 |k|模型 题型二 面积模型 题型三 垂直模型 题型四 比例端点模型 题型五 矩形模型（平行，比例性质） 题型六 等线段模型 题型七 等角模型 题型八 反比例函数中的设而不求法 题型九 反比例函数与相似相似三角形结合 题型十 反比例函数与一次函数综合 题型十一 反比例函数中的探究类问题 题型十二 反比例函数与与几何综合 题型十三 反比例函数的找规律问题 知识点梳理 【模型1】|k|模型 结论1：S矩形＝|k|：结论2：S三角形＝|k| 【模型2】面积模型（四类） 类型一 结论： 证明： ． 类型二 结论：① AO=BO，AB关于原点对称，② S△ABC =4|k| 类型三 结论：① ABCD为平行四边形，② S四边形ABCD =4S△AOB 类型四 结论：S四边形ABOC=k2－k1 【模型3】垂直模型 结论： 证明：作BC⊥x轴，AD⊥x轴，则△BCO∽△ODA，∴ 【模型4】比例端点模型 出现比例端点时可以考虑作垂线构造相似或设点坐标来转化 结论： 证明：过点D作DE⊥x轴，， ， 【模型5】矩形模型（平行性质和比例性质） 一、比例性质 如图,A,B是反比例函数y=图象上任意两点，过A、B作x轴、y轴垂线段 线段比（共线的线段之比为定值） 证明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴ 证明二：∵ 结论： 二、平行性质 如图1、图2、图3，点A、B是反比例函数y＝ 图象上的任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，连接AB、CD，则AB∥CD． y O D B x A C 图1 y O D A x B C 图2 图3 O x A B D C y 下面以图1为例来证明（图2、图3证法类似）： 法一：面积法（等积变形） 如图，易知S△ACE＝S△ADE，因为两个三角形同底等高，故ED∥CA 由平行关系还可以得出其它性质：，(平行线分线段成比例) 补充 简证 证明一:由比例性质可知，,,根据相似可知AB∥CD∥GF 证明二:∵ ∴ ∴， 同理可证CD∥GF 方法二：连接OA、OB，延长CA、DB交于点E y O D B x E A C 则OC＝DE，OD＝CE 由k的几何意义可知S△AOC ＝S△BOD ， ， 又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD ∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD 方法三：延长CA、DB交于点E y O D B x E A C 设，，则 又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD ∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD 补充拓展：矩形模型中的翻折 如图，矩形OABC顶点A，C分别位于x轴，y轴正半轴，反比例函数在第一象限图象交矩形OABC两边于D，E点，将△BED沿ED翻折，若B点刚好落在x轴上的点F处，则EO=EF 【模型六】等线段模型 如图1、图2，点A、B是反比例函数y＝ 图象上的任意两点，直线AB交y轴于点C，交x轴于点D，则AC＝BD． x y B A C D O 图1 x y B A C D O 图2 证明：作AE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F 由平行性质可知AB∥EF ∴四边形CEFB和四边形AEFD均为平行四边形 ∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BD x y B A C D O F E x y B A C D O F E 【模型七】等角模型 模型一：如图，点A、B是反比例函数 图象上的任意两点，直线OB交反比例函数 的图象于另一点C，直线AC交x轴于点D，交y轴于点E，直线AB交x轴于点F，交y轴于点G，则∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE． A B O x C y D F E G 证明：作CN∥x轴，AN∥y轴，BM⊥AN于M A B O x C y M N D F E G 则∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM 设A（a，），B（b，），则C（－b，－ ） ∴CN＝a＋b，AN＝ ＋ ，BM＝b－a，AM＝ － ∴tan∠ACN＝ ＝ ＝ ，tan∠ABM＝ ＝ ＝ ∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM ∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO ∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG ∴AE＝AG ∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE ∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF 模型二：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数在第一象限的图象上， C，D分别位于x轴正半轴和y轴正半轴上，则必然有