江西省江西师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

江西师大附中高三年级数学期中试卷 命审人：高三数学备课组 2023．11 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 5．我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字．通高24cm，口长13．5cm，口宽12cm，底长12．5cm，底宽10．5cm．现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则该文物的体积约为（    ）（ 参考数据：，, ） A． B． C． D． 6．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，给出下列结论： ①与的夹角为； ②； ③； ④在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为 A．① B．② C．③ D．④ 7．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 8．已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知在正四面体中，、、、分别是棱，，，的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．、、、四点共面 10．在中，角的边分别为，知，，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则 B．若，该三角形只有一解 C．周长的最小值为12 D．面积的最大值 11．若数列满足（为正整数），为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 12．已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（    ） A． B．的一个周期是4 C．是偶函数 D． 3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知在等差数列中，,，则=___________． 14．圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是___________． 15．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是__________． 16．如图所示，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，设第n个内切圆面积为Sn ，则 ________． 4、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知等比数列满足，且是，的等差中项. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，，求使 成立的正整数的最小值. 18. （本题满分12分）记的内角的对边分别为,已知. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，，求的面积. 19．（本题满分12分）如图，直角三角形ABC中，已知直角边，，沿斜边上的高AD折起，使点B到达点P的位置，连接PA，PD，PC，得到四面体P-ADC，且二面角C-AD-P为120°． （Ⅰ）证明：AD⊥PC； （Ⅱ）求二面角C-PA-D的正切值． 20. （本题满分12分）已知函数． （Ⅰ）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间； （Ⅱ）若对任意的恒成立，求的取值范围． 21. （本题满分12分）勇毅八十载，聚心向未来！在江西师大附中校庆八十周年即将到来之际，校团委为了普及在校学生了解学校的发展史，培养学生强国有我、强校有我的责任担当，组织部分学生参加校庆专题答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响. （Ⅰ）求甲前3次答题得分之和为40分的概率； （Ⅱ）记甲第i次答题所得分数的数学期望为. ①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）； ②若，求i的最小值. 22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中, 已知两定点, 点满足且在焦点在轴正半轴的抛物线上. 过作一斜率存在的直线交于两点, 连接交抛物线于点. （Ⅰ）求抛物线的标准方程; （Ⅱ）判断直线是否恒过定点，若是请求