3.3抛物线同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3抛物线同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．设抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（    ） A． B． C． D． 4．已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上的两点，，则线段AB的中点到x轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（    ） A．1 B． C．或 D．或 6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 二、多选题 9．已知抛物线E：的焦点为F，准线与坐标轴交于点C，过点C且斜率为k的直线l与抛物线E交于A，B两点（点B在点A和点C之间），则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若B为的中点，则 D．若B为的中点，则 10．过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 12．对于抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．准线方程为 D．准线方程为 三、填空题 13．已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 . 14．若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则 . 15．已知点是抛物线的焦点，点，在上，且，则点到直线的距离可以为 ． 16．已知抛物线上有，A，B三点，且直线过抛物线的焦点F，抛物线的准线与轴交于点C，若，则 ， ． 四、解答题 17．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）. 18．设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若. (1)求抛物线C的方程； (2)若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求的值. 19．在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 20．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； (2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积． 21．已知抛物线的顶点为，过点的直线交于两点. (1)判断是否为定值，并说明理由； (2)设直线分别与直线交于点，求的最小值. 22．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标. 【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称， 故和直线垂直， 所以，故， 又，所以， 故中点坐标是，即 故选：B 2．A 【分析】设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，由梯形中位线得到，然后求得r，进而得到，然后，利用韦达定理求解. 【详解】解：如图所示：    设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，， 则，所以， 则，即， 解得或（舍去），则， 设， 由，消去y得， 则，解得， 所以直线方程为，即， 故选：A 3．B 【分析】根据抛物线的简单几何性质、直线的斜率求解. 【详解】由抛物线的性质，得，所以，则. 设，则，所以，所以，解得， 所以直线的斜率. 故选:B. 4．B 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求出线段AB的中点纵坐标即得. 【详解】抛物线C：的准线方程为，设， 由抛物线定义，得，由，得， 解得，因此线段AB的中点纵坐标为， 所以线段AB的中点到x轴的