精品解析：上海市松江区第四中学2023-2024学年高三上学期期中学情诊断数学试题

松江四中2023学年第一学期数学学科期中学情诊断 时间：120分钟 分值：150分 一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每个4分，第7～12题每个5分，共计54分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设集合，则______. 2. 已知复数，为虚数单位，则复数的实部为______. 3. 若数列为首项为1，公比为3的等比数列，则______. 4. 若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为______. 5. 已知函数，则______. 6. 已知角的终边经过点，则________. 7. 已知二次函数零点为2和4，则不等式的解集为______. 8. 已知单位向量的夹角为. 若，则的取值范围是______. 9. 已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 10. 若函数在上严格减，那么的取值范围是______. 11. 在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________． 12. 已知是奇函数，定义域为，当时，，当函数有3个零点时，则实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，前两题每题4分，后两题每题5分，共计18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列函数中既是奇函数，又在区间上是单调递减函数为 A. B. C. D. 14. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 上有4个零点 C. 在上单调递增 D. 把图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称 16. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+18+18，满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 设函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，的最小值为2，求函数的最大值及对应的的值． 18. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若数列，求数列的前项和． 19. 2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至处有两种路径：一种是从A沿直线步行到，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从A乘缆车到B ，在B 处停留后，再从B 匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，索道长为，经测量，. （1）求山路的长； （2）乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 20. 设函数且. （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； （3）若，且在上最小值是，求实数的值. 21. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点” （1）若m为实数，函数，是“跃点”函数，求m的取值范围； （2）若a为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值： （3）若b为实数，函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松江四中2023学年第一学期数学学科期中学情诊断 时间：120分钟 分值：150分 一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每个4分，第7～12题每个5分，共计54分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义得. 故答案为：. 2. 已知复数，为虚数单位，则复数的实部为______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据复数的除法运算结合实部的概念即可得到答案. 【详解】，所以其实部为. 故答案为：. 3. 若数列为首项为1，公比为3的等比数列，则______. 【答案】13 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式即可. 【详解】由题意得，公比， 则数列前项和，所以， 故答案为：13. 4. 若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可． 【详解】，， 故答案为：. 5. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，再求值. 【详解】，. 故答案为： 6