数列与不等式综合讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列与不等式的综合 【建议课时】 5 【学习目标】1.掌握几种比较常见的放缩，如：、的放缩 2.了解一些基本的放缩技巧 3.熟悉数学归纳法的相关步骤 【知识点梳理】 1. 解决数列与不等式问题两个常见放缩 （1）对的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况： <＝－(n≥2)； <＝(n≥2)； <＝(n≥1)． （2）对的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况： >＝－； <＝－(n≥1)． 2 .数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1) (归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2) (归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． 【知识点点睛】 1.放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使， 由到叫做“放”，由到叫做“缩”. 常用的放缩技巧： （1）若 （2） ，，， （3） （4） （5）若，则 （6） （7）（因为） （8） 或 （9）等等。 （10）二项式定理放缩：如； （11）舍掉（或加进）一些项，如： 2.放缩不等式的选择问题 一个式子的放缩方式有好几种，但不同的放缩方式，得到的结果是截然不同的，所以在我们平时的放缩中，可以从两个方向考虑： ①从结论出发，反向去推，得到放缩方式，这种方式对学生的能力要求极高； 例如：若，求证： 解析：，∴＝－.∴. ②我们一种一种的放缩方式去尝试，得到适合的放缩方式，这种方法比较慢 例如：若，求证：当时， 【解析】尝试： <＝－，=， 不行； 尝试另一种<＝，此时 = 从而看出第二种可以证明. 3.数学归纳法的解读 ①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；n0的值一般情况下我们都是取1，但不是所有情况下，我们要根据具体情况去看； 例如：若，求证：当时，；这里的n0应该取2 ②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 题型一 裂项放缩法（最常考的题型） 例1.已知数列（），数列的前项和为Tn，求证： 解析：令， 则= 【思维点睛】 先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项 如例1：若，则，不符合题意；故我们需要放缩，这样 【变式训练】 1.设数列的前项的和设，，证明：。 证明：， = 点评： 此题的关键是将裂项成，然后再求和，即可达到目标 2.已知数列的前项和为，且满足。 （I）数列是否为等差数列？并证明你的结论； （II）求和； （III）求证：。 简解：（1）是等差数列. . （2）； （3）证法一：当时，成立；当， = 综上所述， 证法二： 。 点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将放大成，需从第二项起，要分类讨论；而方法二是将放大成。明显比大很多，比更接近。 题型二 迭代放缩法 例2 已知数列的首项为点在直线上；若证明对任意的，不等式恒成立． 证明：易得 ， 所以 即 【思维点睛】 放缩法与迭代法的结合，用放缩法构造迭代形式，相乘或相加时消去中间项。用于解决积式问题 如例2：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，，而通项式为的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标 【变式训练】已知数列满足，，证明： 证明：当时，，结论成立，当时，易知 点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。 题型三 等比公式放缩法 例3 已知数列的各项均为正数，且满足记，数列的前项和为，且． （I）数列和的通项公式； （II）求证： ． 解：（I） ，， 证明：（II． ∴． 【思维点睛】 先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化 如例3：右边是，感觉是个的和，而中间刚好是项，所以利用；左边是不能用同样的方式来实现，想到，试着考虑将缩小成是等比数列），从而找到了此题的突破口 【变式训练】已知数列的通项是， 求证： 证明：构造等比数列，令，且，则，则， 由于，故只需要即可，下面证明<，化简式子得：，显然恒成立，即得. 题型四 二项式定理放缩法 例4 已知数列满足，（）． （Ⅰ）证明数列是等比数列，并求出通项； （Ⅱ）如果时，设数列的前项和为，试求出，并证明当时，有． 解：（1） （） 证明：（2）利用错位相消法求出 ， 当时，，则． ，则． 因此，． 【思维点睛】 在证明与