数列前n项和的求法总结讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列前n项和求解方法总结 【建议课时】 3 【学习目标】1.熟悉等差数列前n项和与等比数列前n项和的推导过程 2.掌握几种特殊的数列求和方法，比如裂项相消求和错位相减求和 【知识点梳理】 几种数列求和的常用方法 1.公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式 (ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1； (ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝. 2.分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． 3.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常用的裂项公式有： ①＝－； ②＝； ③＝－. 4.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． 5.倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 6.并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【知识点点睛】 1.等比数列的前n项和推导过程，由此来看错位相减法求和 当时，由 得 ∴当时， ① 或 ② 当q=1时， 错位相减法的求和过程与之类似，只是过程稍微复杂一点，例如：已知,则，则. 以上两式相减得 ， 所以. 当然错位相减法求和，也可构造成裂项相消的方法处理，在这里就不赘述了！ 2.等差数列的前n项和推导过程，由此来看倒序相加求和法 时，，两式相加得：，则，当时， 倒序相加求和方法与之类似，就是与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数时，我们可以类似来求解，例如：已知，则=11 题型一 分组求和 例1. 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． [解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1＝1也满足an＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 【思维点睛】　 若数列通项是几个数列通项的和或差的组合，如：等差加等比，等比加等比．对于这类数列求和，就是对数列通项进行分解，然后分别对每个数列进行求和．例如：an＝bn＋cn＋…＋hn，求和就分开求和. 　 【变式训练】 1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3n，则其前20项和为(　　) A．380－　　　　 B．400－ C．420－ D．440－ 解析：选C　令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3＝2×－3×＝420－. 2．已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列{bn－an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn－an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设{an}的公差为d， 因为a2＝3，{an}前4项的和为16， 所以解得 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 设{bn－an}的公比为q， 则b4－a4＝(b1－a1)q3， 因为b1＝4，b4＝88， 所以q3＝＝＝27， 解得q＝3， 所以bn－an＝(4－1)×3n－1＝3n. (2)由(1)得bn＝3n＋2n－1， 所以Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1) ＝＋ ＝(3n－1)＋n2 ＝＋n2－. 题型二 错位相减法求和 例2. 设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)由2Sn＝3an－1，① 得2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)，② ①－②，得2an＝3an－3an－1，∴＝3(n≥2)， 又2S1＝3a1－1，∴a1＝1， ∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1. (2)