数列通项的求法总结讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列通项的求法总结 【建议课时】 3 【学习目标】1.掌握数列的概念，能写出简单的有规律的数列通项. 2.熟知等差、等比数列的判定方法. 3.掌握与的关系式，并能够构造简单的等差、等比数列. 【知识点梳理】 1.等差数列的判定与证明方法 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 2.等比数列的判定方法： 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 3.递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 4.与的关系： 若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示． 【知识点点睛】 1.利用与的关系求通项公式 已知求的一般步骤： (1)先利用求出； (2)用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式； (3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写. 注意 利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起． 例如：，当n=1时，，当时，，但n=1时，， 故： 2.由递推关系式求通项公式 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解. 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下： (1) ：常用累加法，即利用恒等式求通项公式． 累加法的本质就是：如果一个数列相邻的两项的差已知，就可以使用累加法求通项；例如：已知，并且，则== (2) ：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式． 累积法的本质就是：如果一个数列相邻的两项的比已知，就可以使用累加法求通项；例如： 已知：，并且，则： （3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解． 待定系数法求通项本质是：如果一个数列的相邻两项是一次函数的关系，我们就可以可以构造等比数列用待定系数法求解通项；例如：已知，并且，则：，此时数列是以为首项，2为公比的等比数列，则 (4)：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解．注：这种方法不常考，此处不详解，如果有兴趣，可以去探索一下 (5)：把原递推公式转化为，解法同类型3．注：这种方法不常考，此处不详解，有兴趣可以探索一下 (6)：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．注：这种方法不常考，此处不详解，有兴趣可以探索一下 (7)：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．倒数法求通项本质就是：如果数列的相邻的两项满足的形式，则可以采用倒数法构造等差或者等比数列，然后再求通项；例如：已知：，并且，则：，即有；此时数列是一个以为首项，3为公比的等比数列，则. (8)：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可． (9)：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可． 题型一 an与Sn关系的应用 例1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________. 答案 an＝ 解析 (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此 an＝ (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________. 答案 n－1　 解析 当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝n－1. (3)已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则