等比数列的通项与前n项和讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的通项与前n项和 【建议课时】 1.5 【学习目标】1.理解等比数列的相关概念. 2.熟练写出等比数列的通项公式与前n项和公式（2种形式），并加以运用. 3.掌握等比公式的通项的相关性质与前n项和的相关性质. 【知识点梳理】 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝. (2)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (3)前n项和公式： ①等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0. ②若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0,0,0，… ③任意两个数都有等差中项，但不一定有等比中项；只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项． ④两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个. 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列；当q＝－1时，{an}是摆动数列． 【知识点点睛】 1．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a. 2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 3．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 4．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. 5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． 6．公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn ． 例如：已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20.则该数列的前9项和为(　　) A．50 B．70 C．80 D．90 解析：选B　由等比数列的性质得S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，由S3＝40，S6－S3＝20，知公比为，故S9－S6＝10，S9＝70. 题型一 等比数列基本量的运算 例1 (1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　) A．2　　　B．1 C. D. 答案 C 解析　由{an}为等比数列，得a3a5＝a， 又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2. 设等比数列{an}的公比为q， 则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2， 所以a2＝a1q＝. (2)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 答案 C 解析　当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意； 当q≠1时，由得q＝－. 综上，q的值是1或－，故选C. (3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 答案 B　 解析 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3. (4)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________. 答案 2n－1 解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵∴ 由①除以②可得＝2， 解得q＝，代入①得a1＝2， ∴an＝2×n－1＝， Sn＝＝4， ∴＝＝2n－1. 【思维点睛】 等比数列基本量运算的解题策略： （1）等比数列的基本运算方法： ①等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行． ②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”． （2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法： ①方程思想．等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而