5.7三角函数的应用讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.7三角函数的应用 【学习目标】 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题． 2.能将某些实际问题抽象为三角函数模型． 【教材知识梳理】 一．简谐运动 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”. 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，其中A>0，ω>0. 1. _____就是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 2.简谐运动的周期是T＝ ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 3.简谐运动的频率由公式f ＝＝ 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； 4. 称为相位；x＝0时的相位 称为初相． 二.三角函数模型的应用 1.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用________________准确地描述它们的运动变化规律． 2.函数模型的应用：利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）函数y＝－2sin(3x＋2)的振幅为－2.(　　) （2）一个弹簧振子做简谐运动，其频率和周期互为倒数. (　　) （3）一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm. (　　) （4）在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．(　　) 【教材例题变式】 例1．（源于P137例1）如图，某地一天从4~18时的温度变化曲线近似满足函数． (1)求A，b，，； (2)为响应国家节能减排的号召，建议室温室25°C以上才开空调，求在内，该地适宜开空调的时间段． 例2.（源于P238例2）某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象． （1）试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式； （2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间) 【教材例题延伸】 例3．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为． （1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系； （2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围． 例4． 如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，连接AP，设． 记矩形停车场PQCR面积为． (1)求S关于的函数关系式； (2)求S的最小值． 【课外作业】 基础过关 1.简谐运动的相位与初相是（ ） A．， B．，4 C．，－ D．， 2.如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为（ ） A．2 s B．1 s C. s D. s 3．记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 4．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（     ） A．-2 B．2 C． D． 5．如图，已知OAB是半径为2km的扇形，，C是弧AB上的动点，