5.6函数y=Asin(ωx+ψ)的图象讲义（2）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.6函数的图象（第2课时） 【学习目标】 1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式； 2.会根据三角函数的图象与性质讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质. 【教材知识梳理】 一．得到函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的图象的方法有：_______和________. 二．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的性质： 1.定义域与值域：定义域为R，值域为 ． 2.周期性：最小正周期T＝_____. 3.对称性：对称中心为 (k∈Z)，对称轴是 (k∈Z)． 4.单调性：单调递增区间为 (k∈Z)， 单调递减区间为_______________________(k∈Z)． 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A的绝对值.(　　) （2）在y＝Asin (ωx＋φ)的图象中，相邻两条对称轴之间的距离为1个周期．(　　) （3）对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，每个单调区间的长度不大于半个周期.（ ） （4）求函数的增区间，只需解即可.（ ） 【答案】一．“五点法”作图 图象变换法 二．[－A，A] x＝＋ 概念辨析： (1)√　 (2)×　 (3)√　 (4)× 【教材例题变式】 例1．（源于P241第4题）（1）函数是常数，）的部分图象如图1所示，则_______. （2）函数的图象如图2所示，则（     ） A． B． C． D． 图1 图2 【答案】（1） （2）C 【详解】（1）由图可知： ，故答案为． （2）因为在函数的图象上，所以，，所以，此时， 又点在函数的图象上，所以， 由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，.故选：C. 归纳：给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|. (2)ω：因为T＝，所以可通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为. (3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 例2.（1）已知函数的部分图象如图1所示，则____________. （2）已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），y＝f（x）的部分图象如图2， 则f（）＝________. 图1图2 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由题意可得， 当时，，令可得， 则. （2）由题意可知T，所以ω＝2，函数的解析式为f（x）＝Atan（ωx+φ）， 因为函数过（，0），所以0＝Atan（φ），所以φ. 图象经过（0，1），所以，1＝Atan，所以A＝1，所以f（x）＝tan（2x）. 则f（）＝tan（）. 【教材例题延伸】 例3．（1）函数f(x)＝3sin的图象为C，则所有正确结论的编号是________． ①图象C关于直线x＝对称； ②图象C关于点对称； ③函数f(x)在区间内是增函数； ④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C． （2）（多选）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（     ） A．在区间上有且仅有3个不同的零点 B．的最小正周期可能是 C．的取值范围是 D．在区间上单调递增 【答案】（1）②③ （2）BC 【详解】（1）因为f(x)＝3sin 对于①：由得：， 所以f(x)＝3sin的对称轴方程为：， 令，解得：，故①错误； 对于②：因为，所以图象C关于点对称；故②正确； 对于③：令，解得， 所以f(x)的递增区间为， 当k=0时，是f(x)的一个递增区间，故③正确； 对于④：y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误. 故答案为：②③ （2）由函数，令，，则，， 函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数k符合， 由，得， 则，即，，故C正确； 对于A，，，∴， 当时，在区间上有且仅有3个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A错误； 对于B，周期，由，则， ∴，又，所以的最小正周期可能是，故B正确； 对于D，，∴，又， ∴，又， 所以在区间上不一定单调递增，故D错误． 故选：BC. 例4．已知函数，（其中）． (1)求函数的值域； (2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间． 【答案】（1）由题意得 ， 由于 ，得