5.5.2简单的三角恒等变换（第1课时）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.2简单的三角恒等变换（第1课时） 【学习目标】 1.能够运用两角和差公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换． 2.了解积化和差公式与和差化积公式； 2.运用恒等变换进行三角函数的化简、求值和证明． 【教材知识梳理】 一．半角公式 1.sin＝____________， 2.cos＝___________， 3.tan＝___________， 注意：符号由所在象限决定． 二．万能公式 1.；2.；3. 二．积化和差公式 1.； 2.； 3.； 4.. 三．和差化积公式 1. ； 2. ； 3.； 4. . 概念辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) （1）．(　　) （2）.（ ） （3）都可以用进行表示．(　　) （4）可直接使用和差化积公式进行变形.(　　) 【教材例题变式】 例1.（源于P225例7）（1）求证：. （2）设，求证：，，． 例2.（源于P225例8）你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？ （1）； （2）. 【教材拓展延伸】 例3.（1）已知，且<θ<，求sin，cos，tan. （2）已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值． 例4.证明：(1)＝tanθ； (2) 3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α. 例5．（1）已知，求证：. （2）已知，求证：. 【课外作业】 基础过关 1．设，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知，的值等于（     ） A． B． C． D． 4．已知第二象限角满足，则（     ） A． B． C． D． 5．若，则等于（     ） A． B． C． D． 6．（多选））下列各式中与相等的是（     ） A． B． C． D． 7．已知，则的值等于_________. 8．已知，，则__________． 9．已知且，求：(1)； (2)． 能力提升 10．已知，则（     ） A． B． C． D． 11．（多选）下列等式中恒成立的是（     ） A． B． C． D． 12．（多选）存在函数满足：对任意都有（     ） A． B． C． D． 13．___________. 14．已知，且，则的最大值为___________. 15．已知 . (1)求 ；(2)求 的值. 16．已知，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5.2简单的三角恒等变换（第1课时） 【学习目标】 1.能够运用两角和差公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换． 2.了解积化和差公式与和差化积公式； 2.运用恒等变换进行三角函数的化简、求值和证明． 【教材知识梳理】 一．半角公式 1.sin＝____________， 2.cos＝___________， 3.tan＝___________， 注意：符号由所在象限决定． 二．万能公式 1.；2.；3. 二．积化和差公式 1.； 2.； 3.； 4.. 三．和差化积公式 1. ； 2. ； 3.； 4. . 概念辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) （1）．(　　) （2）.（ ） （3）都可以用进行表示．(　　) （4）可直接使用和差化积公式进行变形.(　　) 【答案】± ± ± 概念辨析： (1)√　(2)×　 (3)√ (4)× 【教材例题变式】 例1.（源于P225例7）（1）求证：. （2）设，求证：，，． 【答案】（1）tan＝＝＝， tan＝＝＝.. （2） ， ， ， 于是，，． 归纳：三角恒等式的证明要特别关注等式两端的函数名与角，证明的关键就是通过公式将两边的角与名统一起来. 例2.（源于P225例8）你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？ （1）； （2）. 【答案】证明：线段AB的中点M的坐标为. 过点M作垂直于x轴，交x轴于，如图，则. 在中，. 在中，. 于是有，. 【教材拓展延伸】 例3.（1）已知sinθ＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan. （2）已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值． 【答案】（1）∵sinθ＝，<θ<3π，∴cosθ＝. ∵，∴，，. （2）因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝－，cos β＝， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝， 又因为<α<π，0<β<，所以0<α－β<π，所以0<<， 所以cos ＝ ＝ ＝. 例4.证明：(1)＝tanθ； (2) 3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α. 【