6.2反比例函数的图像和性质 讲义 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

反比例函数的图像和性质 知识梳理： ·1.定义：一般地，形如：（为常数，）的函数称为反比例函数，其中是自变量， 是的函数，是比例系数．（自变量是一切不为的实数） ·一般表达式：，因为是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0。 ·画反比例函数的图像的步骤：(1) 列表．(2) 描点．(3)连线 . 2.图象的特点 (1)反比例函数 y= k/x ( k 为常数， k ≠ 0 )的图象是双曲线 . (2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限． 特别提醒 ●双曲线既是中心对称图形( 对称中心是原点 )，又是轴对称图形 ( 对称轴是直线y=x或直线y=－x). ●实际问题中反比例函数的图象，受自变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分. 例1.在同一平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象 . 解：列表 . x ... -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 ... ... -1 -5 5 1 ... ... -3 - -5 -15 15 5 3 ... 描点、连线得到如图所示的图象 . 例2.在同一平面直角坐标系中画出反比例函数和 解：列表 . x ... -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 ... ... 1 5 -5 -1 ... 3 5 15 -15 -5 -3 描点、连线得到如图所示的图象 . 2.图象的特点 (1)反比例函数 ( k 为常数，且 k ≠ 0 )的图象是双曲线 . (2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限． 总结： 1. 象限 ： k>0时，图像在一，三象限，k<0时，图像在二，四象限 2. 对称性 ： 中心对称图形，对称中心为原点，也是轴对称图形，对称轴为y=x和y=-x 3. 增减性 ： k>0时，在各自象限内，y随x的增大而减小，当k<0时，在各自象限内，y随x的增大而增大. 图像总结： 反比例函数  k 的符号  k ＞ 0  k  ＜ 0 图象 图象位置  第一、第三象限  第二、第四象限 增减性  在每一 个象限内， y 随 x的增大而减小 在每一个象限内， y 随 x的增大而增大 练习1．反比例函数的大致图象为（　c 　） A B C D 练习2, 若反比例函数过点（-2，3），（，1），则 （1）求反比例函数表达式； 解： 反比例函数经过点（-2,3） k=-6 反比例函数的表达式为： （2）求的值. 解： 点（m,1） 经过反比例函数 把点（m,1）带入中， m=-6 练习3.已知反比例函数 ( m≠0 )的图象过点(－ 3， － 12 ) ，且反比例函数 的图象位于第二、第四象限 . (1) 求 m 的值； (2) 对于 ，当 x ﹥ 2 时，求 y 的取值范围 . 解：(1)点(－ 3， － 12 )经过反比例函数 =36 m= 又反比例函数的图象位于第二、第四象限 k<0 即m<0 m=-6 （2）由（1）得y=， 当x=2时，y=-3 在第四象限内时，反比例函数是y随x的增大而增大 当x>2时y>-3 又函数在第四象限内 y<0, 综上所述.-3<y<0 3·反比例函数 （ k ≠ 0) 中 k 的几何性质 例3.过双曲线上任意一点 P ( x， y )分别作x 轴、 y 轴的垂线 PM， PN，过E