5.4三角函数的图象与性质讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的图象与性质 【建议课时】 4.5 【学习目标】1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，掌握三角函数的周期性. 2. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等)． 3. 能画出y＝Asin(ωx＋φ)的大致图象或者已知图像反求解析式，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响，并能指出其周期，单调区间，对称性，最值. 4. 三角函数图像的平移问题. 【知识点梳理】 1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R x≠kπ＋} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 2.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 【知识点点睛】1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 3.三角函数的周期由决定，f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)的周期都是，而f(x)＝Atan(ωx＋φ)的周期是，一句话概括，正余弦类函数的周期分子是2π，而正切类函数的周期分子是π. 4.最值的求法：（此类题一般会告诉函数的解析式，并给出x的范围，求函数的值域） 先求出Asin(ωx＋φ)中（ωx＋φ）的范围，再求出整体的范围，求整体的范围时最好画图解决. 例如：求y＝3sin在区间上的值域，当x∈时，2x－∈，sin∈（画出∈时y=sinα的图像可得），故3sin∈，即y＝3sin的值域为. 5.三角函数的单调区间：把括号中的式子放在整体的单调区间中即可. 例如：求函数f(x)＝4sin的单调递减区间，f(x)＝4sin＝－4sin（这里注意到我们把括号内的系数化为正了，这是因为复合函数同增异减，这里的内层函数是一个一次函数，我们只要把内层函数的单调性确定为增过后，外层单增整体就单增，外层单减整体就单减，相当于外层函数就决定了整个的单调性），所以要求f(x)的单调递减区间，，只需求y＝4sin的单调递增区间，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)（把（2x－）放在了y=sinx的单增区间里面），得－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)． 6.三角函数的对称轴：先写出外层三角函数的对称轴的表达式，再令括号内的式子等于外层三角函数的对称轴的表达式，便可以解出对称轴的表达式. 例如，求函数y＝4sin的对称轴，外层函数y=sinα的对称轴表达式是α=，那么我们就令括号内的，解出x=，所以函数y＝4sin的对称轴是：x=(k∈Z). 7.三角函数的对称中心：（分横坐标和纵坐标两个部分去理解，特别是纵坐标容易被遗忘） 横坐标：先写出外层三角函数的对称中心横坐标的表达式，再令括号内的式子等于外层三角函数的对称中心横坐标的表达式，便可以解出对称中心横坐标. 纵坐标：由f(x)＝Asin(ωx＋φ)+b中的b确定，对称中心的纵坐标就是b.（加一个常数相当于上下平移） 例如，求函数f（x）＝4sin+1的对称中心，先求横坐标，外层函数y=sinα的对称中心横坐标的表达式为α=π,所以我们就令括号中的，解出x=，这就是f（x）对称中心的横坐标,接下来求纵坐标，因为这里的常数项b为1（相当于图像整体向上平移一个单位），所以f（x）对称中心的纵坐标是1，综上所述，f（x）的对称中心为 8.三角函数的平移问题：三角函数的平移问题要牢牢抓住在x的“正1倍”上面左加右减的原则. 例如，求函数f（x）＝4sin向右平移个单位后的图像的解析式，这里向右平移个单位需要在x的正一倍上减去，所以平移后的解析式g（x）==. 9.已知三角函数的大致图像求函数的解析式：一般先通过振幅和周期确定A和，再代入特殊点确定φ，此时一定要注意φ的范围 例如，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0，)的部分图象如图所示，求