5.2.2-5.3同角三角函数基本关系式及诱导公式讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

同角三角函数基本关系式及诱导公式 【建议课时】 1.5 【学习目标】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x． 2.借助单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 【知识点梳理】 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tanα. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 奇变偶不变，符号看象限 【知识点点睛】 1．使用平方关系求三角函数值时，根据角所在象限确定三角函数值的符号． 2. 对于αkπ，其中k为整数时，可以这样简单地去理解，k为偶数结果都不变，k为奇数sin和cos结果变为原来的相反数，tan结果不变，例如sin（α+2020π）=sinα，sin（α+2021π）=-sinα 3．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？变、不变是何意义？符号看象限是什么意思？ [解答]所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数，变、不变指的是三角函数名的改变，比如“sin”变“cos”，“cos”变“sin”，而符号看象限的意思是将角度部分看作是一个锐角，这里无论α前面的系数是多少，只要这个系数为正（系数不为正先将系数化成正数），都把这些角度整体看做锐角，例如cos（-2α+）中，我们先将其化为cos（2α-），把其中的“2α”看作是一个整体，这个整体我们把他看成是一个锐角，一个锐角减去是第四象限角，对于cos来讲，第四象限为正，所以结果定号为正，又因为k为奇数，函数名变为sin，所以结果是sin2α 题型一　同角三角函数基本关系式的应用 命题点1 同角各三角函数互求 【例1】已知α是第四象限角，sinα＝－，则tanα等于(　　) A．－B.C．－D. 答案　C 解析　因为α是第四象限角，sinα＝－， 所以cosα＝＝， 故tanα＝＝－. 【变式训练】若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案 D 解析 由sin α＝－，且α为第四象限角，得cos α＝＝.则tan α＝＝－.故选D. 命题点2 三角函数商与和的关系的应用 【例2】已知tanα＝2，则的值为． 答案　3 解析　原式＝＝＝3. （分析：上下同时除以cosα） 【例3】若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于(　　) A.B.C．1D. 答案　A 解析　tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝. 【变式训练】已知sin(π－α)＝－2sin，则sin α·cos α＝(　　) A. B.－ C.或－ D.－ 答案 B 解析 由sin(π－α)＝－2sin，得sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2.∴sin α·cos α＝＝＝－.故选B. （分析：已知条件是tanα，而求的式子并非一个分式） 【思维点睛】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tanα可以实现角α的弦切互化． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 题型二　诱导公式的应用 【例4】(1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} 答案　C 解析　当k为偶数时，A＝＋＝2； 当k为奇数时，A＝－＝－2. (2)化简：＝. 答案　－1 解析　原式＝ ＝＝ ＝－＝－·＝－1. 【思维点睛】(1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα. 【变式训练】　(1)已知角α终边上一点P(－4,3)，则 的值为________． 答案　－ 解析　原式＝＝tanα， 根据三角函数的定义得tanα＝－.