任意角、弧度制及任意角的三角函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

任意角、弧度制及任意角的三角函数 【建议课时】1 【学习目标】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 【知识点梳理】 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝rad，1rad＝°. (3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2. 3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时， 则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sinα R ＋ ＋ － － cosα R ＋ － － ＋ tanα {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 4.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 知识点点睛 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)． 3.作图法解决象限问题 例如，已知是第三象限角，则不可能是（ ） A. 第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【分析】对待求解的象限这类问题，可以利用作图法.首先对平面直角坐标系进行处理，利用经过原点的直线分别将每个象限分为n份.然后从x轴正半轴开始，依次标记“一”“二”“三”“四”.原来是第几象限角，对应标记所在的所有象限就是可能在的象限. 【解答】本题中，.如图，首先将每个象限分为3份，再由x轴正向开始标记“一”“二”“三”“四”.由于是第三象限角，我们观察到标记“三”的部分，分别在第一、三、四象限，所以可能是第一/第三/第四象限角，因此不可能是第二象限角. 题型一　角及其表示 【例1】 设集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 答案　B 解析　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B. 题型二 【例2】若角α是第二象限角，则是第_____象限角． 答案　一或三 解析　∵α是第二象限角， ∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角． 综上，是第一或第三象限角．（亦可用作图法，详见ppt） 【变式训练】若α是第三象限角，则是第______象限角 答案:一或三或四 （当n≠2时，代数法就不好解决了，用作图法解决，详见知识点点睛） 题型三　弧度制及扇形面积公式 【例3】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10cm，求扇形的面积． 解　由已知得α＝，R＝10cm， ∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2)． 【变式训练】 1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积． 解　l＝α·R＝×10＝(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形 ＝·l·R－·R2·sin ＝··10－·102·＝(cm2)． 2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解　由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0<R<10)． 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad. 【思维点睛】 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问