抛物线（提高）讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

抛物线二（提高） 【建议课时】5 【学习目标】1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(难点)2.会求简单的抛物线的方程．(重点) 3.掌握抛物线标准方程的四种形式.4.掌握抛物线的简单性质．(重点)5.会用抛物线的性质解决与抛物线有关的综合问题．(难点) 【知识点梳理】 1. 抛物线的定义 (1)定义 平面内与一个定点F和一条直线l(l不过点F)的距离相等的点的集合叫作抛物线． (2)焦点 定点F叫作抛物线的焦点． (3)准线 定直线l叫作抛物线的准线． 2. 抛物线标准方程的四种形式 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 3. 抛物线的性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py(p>0) 图像 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 性质 开口方向 向右 向左 向上 向下 通径 过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|＝2p 4. 直线与抛物线的位置关系： (1) 位置关系的判定： 联立直线和抛物线消整理得：，当时 直线与抛物线相交，有2个公共点. 直线与抛物线相切，只有1个公共交点. 直线与抛物线相离，没有公共交点. 当时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切 （2）若直线与抛物线相交于，则弦长或 【知识点点睛】 1. 抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是焦点到准线的距离. 2. 求抛物线焦点坐标、准线方程的方法： （1） 根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出2p，进而求出p和的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程. 例如：求抛物线3x2+5y=0的焦点坐标和准线方程. 将3x2+5y=0变形为，知抛物线开口向下，2p=,p=,=,所以焦点坐标为(0,),准线方程为y=. （2） 一般地，不论a符号如何，形如y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为F，准线方程均为x＝－；形如x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为F，准线方程为y＝－，而p(指焦点到准线的距离)总是正数． 例如：求抛物线y2=a2x(a≠0)的焦点坐标和准线方程. 由方程y2=a2x(a≠0)知抛物线开口向右，2p=a2,p=,=,所以焦点坐标为(,0),准线方程为x=. 3. 抛物线定义的两种应用： (1) 实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. 例如：若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10.则点M的坐标为________. 由抛物线方程y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为F（，0）.准线方程为x=.设点M到准线的距离为d，则d=|MF|=10,即-（-9）=10，得p=2，故抛物线方程为y2=-4x.将M（-9，y）代入抛物线方程，得y=±6，故点M的坐标为（-9,6）或（-9，-6）. (2) 解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题. 例如：如图，作PN⊥l于N（l为准线），作AB⊥l于B，则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号.所以(|PA|+|PF|)min=|AB|=3+=.此时yp=2,代入抛物线得xp=2，所以P点坐标为（2,2）. 4. 抛物线的焦点弦问题 (1) 过焦点的弦长的求解方法. 设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A（x1,y1）,B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1+x2，即可. (2) 抛物线的焦点弦的常见结论. 若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦），且A（x1,y1）,B(x2,y2)，则x1x2=，y1y2=-p2. 例如：过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6,求线段AB的长