3.2双曲线讲义（提高）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线二（提高） 【建议课时】5 【学习目标】 1.了解双曲线的定义.2.掌握双曲线的标准方程．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．(难点) 4.掌握双曲线的简单性质及性质的应用．(重点)5. 掌握离心率或其范围的求法.6.会解决直线和双曲线结合的系列问题. 【知识点梳理】 1. 双曲线的定义 (1)定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合． (2)符号表示 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0＜2a＜|F1F2|)． (3)焦点 两个定点F1，F2. (4)焦距 两个焦点之间的距离，表示为|F1F2|. 2. 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 3. 双曲线的简单性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b a叫实半轴长，b叫虚半轴长 离心率 e＝＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 4. 确定双曲线渐近线的方法：令双曲线标准方程中的“1”为“0”，即得到双曲线的两条渐近线. 5. 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y=±x，离心率为e=. 6. 直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点. (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离. 7. 弦长公式 斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝|x1-x2| ＝ ＝|y1－y2|＝ 【知识点点睛】 1. 双曲线的定义中的注意点： （1） 定义中的前提条件为“平面内”，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了空间图形. （2） 距离之差的绝对值等于常数. （3） 定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹不再是双曲线. 当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. 2. 待定系数法求双曲线方程的五种类型： 类型一 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝（） 类型二 若已知双曲线的一条渐近线方程为y=或y=-,则可设双曲线方程为－＝（） 类型三 与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为 类型四 过两个已知点的双曲线的标准方程可设为(mn>0)或者(mn<0) 类型五 与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为 例如：与椭圆共焦点且过点P（2,1）的双曲线方程是？ 设所求双曲线方程为，将点P（2,1）代入可得，解得=2（=-2舍去），所以所求双曲线方程为. 当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如上述的求双曲线方程的类型一：具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上． 3. 双曲线的焦点三角形的性质. 设若双曲线方程为－＝1，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点. 类比椭圆，双曲线的焦点三角形同样有许多性质： 性质1：若∠F1PF2=,则；特别地，当∠F1PF2=90°时，有. 证明：2|PF1||PF2|cos=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2=(2a)2+2|PF1||PF2|-(2c)2, 2|PF1||PF2|(cos-1)=4(a2-c2), |PF1|