4.椭圆（提高）讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆讲义(提高） 【建议课时】5 【学习目标】1.理解椭圆焦点、焦距的定义．(重点)2.会求椭圆的标准方程．(重点) 3.会解决有关椭圆的一些轨迹问题.4.掌握椭圆的简单几何性质及椭圆性质的应用.（重点）5.掌握离心率或其范围的求法6.会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系．7.会解决直线和椭圆的综合问题. 【知识点梳理】 1. 椭圆的定义 (1)定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合． (2)焦点 两个定点F1，F2. (3)焦距 两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示 |PF1|＋|PF2|＝2a(常数)，且2a＞|F1F2|. 2. 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 3. 椭圆的简单性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 对称性 对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0) 范围 |x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b 离心率 e＝ 4. 点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋<1； 点P在椭圆外部⇔＋>1. 5. 直线与椭圆的位置关系 设直线l的方程为y=kx+m，椭圆的方程为＋＝1，将直线方程与椭圆方程联立整理成关于x（或y）的一元二次方程形式：Ax2+Bx+C=0（或Ay2+By+C=0）. 位置关系 公共点个数 组成的方程组的解 判定方法（利用判别式△） 相交 2个 两个不相等的实数解 △>0 相切 1个 两个相等的实数解 △=0 相离 0个 无解 △<0 6. 弦长公式 设直线方程为y=kx+m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=,或|AB|=. 其中，x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到. 【知识点点睛】 1. 椭圆的定义具有判定和性质的双向作用，即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. 2. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.焦点三角形有如下性质： (1) 性质一：焦点三角形的周长为2a+2c. (2) 性质二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为. (3) 性质三：已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2中∠=，则=b2tan. 证明：记|PF1|=r1,|PF2|=r2,由椭圆的第一定义得r1+r2=2a,∴(r1+r2)2=4a2.在△F1PF2中，由余弦定理得：r12+r22-2r1r2cos=4c2.即4a2-2r1r2(1+cos)=4c2.∴r1r2=.由任意三角形的面积公式得：==. 同理可证，在椭圆＋＝1(a>b>0)中，公式仍然成立. (4) 性质四：已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=，则cos≥1-2e2. 证明：设PF1=r1,PF2=r2,则在△F1PF2中，由余弦定理得：cos==，得证. 3. 解决与椭圆有关的轨迹问题. （1） 方法一：若题目条件中某动点P满足到两定点距离和为定值，此时若利用坐标代入化简非常麻烦，可利用椭圆的定义得到点P的轨迹是椭圆，再求出椭圆的方程，这种解法称为定义法. 例如：设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是椭圆. （2） 方法二：利用求轨迹方程的相关点法（代入法）得到点的轨迹方程，如果和椭圆标准方程形式吻合，那么这个动点的轨迹就是椭圆. 例如：在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？ 设M(x,y),P(x0,y0),由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程. 4.