5.1任意角和弧度制讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1 任意角和弧度制 1、任意角的概念： 我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终边重合。 2、角的表示： 如图所示：角可记为“”或“”或“”，始边：，终边：，顶点。 正角： 负角： 零角： 3、象限角： 我们通常在直角坐标系内讨论角。为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。 4、终边相同的角： 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。 5、象限角的集合表示： 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 6、轴线角（终边在坐标轴上的角）的集合表示： 角的终边的位置 集合表示 终边落在轴的非负半轴上 终边落在轴的非正半轴上 终边落在轴的非负半轴上 终边落在轴的非正半轴上 终边落在轴上 终边落在轴上 7、的终边所在的象限： ①数的角度：用不等式表示出角的范围。 ②形的角度：如图，通过拆分或合并象限的方式，用旋转的观点确定角的终边所在的象限。图1二分坐标系，标号为几的区域，就是为第几象限角时的终边落在的区域，图2三分坐标系，标号为几的区域，就是为第几象限角时的终边落在的区域。 8、角度制： 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的1/360。这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。 9、弧度制的定义： 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度。一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。 我们把半径为的圆叫做单位圆。如图5.1-11，在单位圆中，弧的长等于，就是弧度的角。；。 10、特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 弧度 11、弧长公式： 根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为rad，那么。 扇形面积公式：。 12、弧度制下角的终边的对称与垂直： 角与角的终边的位置关系 角与角的关系 角与角的终边关于轴对称 角与角的终边关于轴对称 角与角的终边关于原点轴对称 角与角的终边关于轴对称 角与角的终边关于轴对称 角与角的终边在同一条直线上 角与角的终边互相垂直 【题型1】任意角的概念 1．在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合的角． ①小于90°的角一定是锐角； ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等； ④相等的角终边一定重合． 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．把一条射线绕着端点按顺时针旋转240°所形成的角是（　　） A．120° B．﹣120° C．240° D．﹣240° 3．时间经过2h，时针转过的角是（　　） A． B． C．2π D．π 4．时针走过2时40分，则分针转过的角度是（　　） A．80° B．﹣80° C．960° D．﹣960° 5．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为（　　） A．﹣480° B．﹣240° C．150° D．480° 【题型2】终边相同的角 1．与﹣20°角终边相同的角是（　　） A．﹣300° B．﹣280° C．320° D．340° 2．下列四个选项中与405°终边相同的角为（　　） A．5° B．45° C．105° D．215° 3．下列各角中，与2023°角终边相同的是（　　） A．﹣223° B．223° C．﹣147° D．147° 4．与﹣30°角终边相同的角的集合是（　　） A．{α|α＝k⋅360°+30°，k∈Z} B．{α|α＝k⋅360°+330°，k∈Z} C．{α|α＝k⋅360°﹣330°，k∈Z} D．{α|α＝k⋅360°﹣260°，k∈Z} 5．下列与45°终边相同角的集合中正确的是（　　） A．{α|α＝2kπ+45°