北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

2023北京陈经纶中学高二（上）期中 数 学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的左焦点的坐标为（    ） A．(-2,0) B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点，则（    ） A．直线坐标平面 B．直线坐标平面 C．直线坐标平面 D．直线坐标平面 4．如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是，，，，，，，，是图中两组同心圆的部分公共点，若点在以，为焦点的椭圆上，则（    ） A．点和都在椭圆上 B．点和都在椭圆上 C．点和都在椭圆上 D．点和都在椭圆上 5．已知直线，，则“”是“直线与相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知A，B（异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M中，使得为钝角三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．或2 8．如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 9．设点，分别为椭圆的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（    ） ①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为； ②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为； ③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为； ④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 11．若直线与直线垂直，则a的值为 . 12．在正方体中，点E为上底面A1C1的中心，若，则 ， . 13．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，，，则截口BAC所在椭圆的离心率为 . 14．设点，，直线，于点，则的最大值为 . 15． 已知两点．点满足，则的 面积是____；的一个取值为____． 16．如图，在矩形中，，，将沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形. 给出下面三个结论： ①在翻折过程中，存在某个位置，使得； ②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本大题共5个小题，共70分. 17．（本题13分）已知直线经过两条直线和的交点. （I）若直线与直线平行，求直线的方程； （II）若直线与圆相交所得弦长为8，求直线的方程. 18．（本题13分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，. （I）求证：； （II）求平面与平面夹角的余弦值. 19．（本题15分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值； （III）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在， 说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面. 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 20．（本题14分）已知椭圆E:的离心率为，一个焦点为. （I）求椭圆的方程； （II）设为原点，直线（）与椭圆交于不同的两点，且与x轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为. 证明：是等腰直角三角形. 21． （本题15分）设正整数n≥3，集合对于集合A中的任意元素a＝（x1，x