直线与方程讲义-2024届高考数学一轮复习

直线与方程 知识清单： 1、 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，当直线与x轴相交时，取x轴的正半轴作为基准，把x轴的正方向按逆时针旋转至与直线重合的最小角，叫做直线的倾斜角。 其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0；故直线倾斜角的范围是。 直线的斜率：倾斜角不等于90°的直线，正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k表示，即k=tan。当=90°时，斜率k不存在。注意倾斜角与斜率k的范围之间的对应关系。 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 3、斜率公式：已知直线过两点（其中）所求直线的斜率． 4、 直线方程的5种形式： ①.直线的点斜式方程的定义 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为．这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 适用条件： ②.直线的斜截式方程的定义 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 适用条件： ③．直线的两点式方程的定义 已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． 适用条件： ④．直线的截距式方程的定义 已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为． 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是． 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． 适用条件： ⑤.直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 适用条件： 5、两直线的位置关系 6、点到直线的距离： （1）点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有. （2）设两条平行直线，它们之间的距离为，则有. 7、直线的交角： （1）直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时. （2）两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有. 8、对称问题：对称与距离有关，与垂直有关. 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 5 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 9、直线系方程： ①与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m). ②与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R) ③过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0) ④过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ∊R） 注：该直线系不含l2. . 题型一：求倾斜角与斜率 题型二：求直线方程 例2.（1）过P（-2,2）点引一条直线,使其与坐标轴围成的面积等于4，求直线的方程。 （2）直线过点P（-2,3），且与x轴、y轴分别交于A、B两点，如果点P恰好为线段AB的中点，求直线的方程。 （3）若直线在x轴上的截距为1，则实数m= 。 （4）在x轴、y轴上的截距分别是-2,3的直线方程为 。 （5）求过点P（3,2），并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 。 题型三：与直线方程有关的问题 例2.（1）直线的方程，根据下列条件写出A、B、C应满足的条件： ①直线与坐标轴相交 ； ②直线过原点 ； ③直线是y轴所在的直线