广东省中山市2023-2024学年高三上学期第二次段考数学试卷

广东省中山市2023—2024学年高三上学期第二次月考 数学试卷 注意事项： （1）答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息； （2）请将答案正确填写在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象不过原点，则的值为 A．0 B．-1 C．2 D．0或2 3．若a＞1，则的最小值是（    ） A．2 B．a C． D．3 4．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．函数在上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．已知锐角、满足、，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．以下选项中，是，的一个必要条件的为（    ） A． B． C． D． 10．下列论述中，正确的有（    ） A．正切函数的定义域为 B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 C．第一象限的角一定是锐角 D．圆心角为且半径为2的扇形面积是 11．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（    ） A．4 B．12 C． D． 12．双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（，为自然对数的底数）．下列关于与说法正确的是（    ） A．与在上均为增函数 B．与的图象都关于原点对称 C．，都有 D．，都有 三、填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分 13．，，，则的最小值是________. 14．已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是 ． 15．已知函数是偶函数，那么的一个取值可以是 .（答案不唯一） 16．对于任意两个正实数，定义．其中常数，“”是实数乘法运算，若，则 ；若，与都是集合中的元素，则 ． 四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）计算： (1)； (2) 计算：. 18. （本小题满分12分） 已知函数． （1）求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率； （2）求函数f（x）的单调区间与极值； 19．（本小题满分12分）已知函数. （I）当时，求不等式的解集； （II）若关于不等式有且仅有一个整数解，求正实数的取值范围. 20．（本小题满分12分）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴的合，终边经过点，且. (1)求的值： (2)求的值. 21．（本小题满分12分）党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中． （1）求a的值； （2）若交通流量，求道路密度x的取值范围； （3）求车辆密度q的最大值． 22．（本小题满分12分）已知函数. （1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围； （2）当时，证明：. 答案第10页，共10页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省中山市2023—2024学年高三上学期第二次月考 数学试卷答案 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象不过原点，则的值为 A．0 B．-1 C．2 D．0或2 2．A 【分析】根据函数是幂函数可知，得出：或，然后验证，得到的值. 【详解】函数是幂函数， ，解得：或， 当时，，过原点，不满足条件； 当时，，不过原点，满足条件， . 故选:A. 【点睛】本题考查幂函数的解析式和函数性质，形如的函数是幂函数，熟记和时，函数的性质和图象是解题 的关键，本题主要考查基础知识的掌握情况. 3．若a＞1，则的最小值是（    ） A．2 B．a C． D．3 3．D 【分析】原式可化为形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2 【详解】由a＞1，有a－1＞0 ∴， 当且仅当， 即a＝2时取等号. 故选：