3.1.1椭圆及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？ 生活中的椭圆 一.课题引入： 结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？ （1）在平面内 （2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a （3）定长2a﹥ |F1F2| 反思： F1 F2 M F1 F2 P F1 F2 轨迹不存在 设定点F1(-3,0),F2(3,0),动点P(x,y)满足条件|PF1|+|PF2|=m(m>0),当m分别取下列各值时，动点P的轨迹是什么? (1)m=6.1 (2)m=6 (3)m=5.9 探究 1、椭圆的定义 平面上到两个定点F1、F2的距离的和（2a)等于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。 F1 F2 M 椭圆 (2a>2c) 线段 (2a=2c) 不存在 (2a<2c) 小结 F1 F2 建立直角坐标系xoy，使x 轴经过点 ，并且点o与线段 的中点重合 ，设M(x,y)是椭圆上任意一点 由椭圆的定义 2、推导椭圆的标准方程 M(x,y) F1 F2 y x o 由椭圆的定义知 2a>2c 即 a>c 代入上式得 化简得 3、椭圆标准方程分析 我们把方程 叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、 F2(c，0)．这里c2=a2－b2． 如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里c2=a2-b2．方程是怎样呢？ y M x o F1 F2 (-c,0) (c,0) (x,y) 由两点间的距离公式，可知： x y 设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)， 又由椭圆 的定义可得： |MF1|+ |MF2|=2a y M 3．椭圆标准方程分析 x y 只须将(1)方程的x、y互换即可得到 这个也是椭圆的标准的方程 x 方 程 特 点 （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； （4）a、b、c都有特定的几何意义， a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距. 有关系式 成立。 x O F1 F2 y 椭圆的标准方程 O F1 F2 y x (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； 例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ 例题精析 5 4 3 (3,0)、(-3,0) 6 ２0 F1 F2 C D 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。 |CF1|+|CF2|=2a (2)已知椭圆的方程为： ,则 a=_____，b=_______，c=_______， 焦点坐标为：__________，焦距 等于_________; 若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_________， 则∆F1PF2的周长为___________ 2 1 (0,-1)、(0,1) 2 P F1 F2 |PF1|+|PF2|=2a 例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。 (2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0）， 且椭圆经过点P 。 (1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。 解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程 为： 2a=10，2c=8 即 a=5，c=4 故 b2=a2-c2=52-42=9 所以椭圆的标准方程为： (2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且 椭圆经过点P 。 解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为： 由椭圆的定义可知： 又因 c=2， 所以椭圆的标准方程为： 故 b2=a2-c2=10-22=6 （2）求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①a=4，b=1，焦点在x轴上；