4.5.3函数模型的应用课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.3 函数模型应用 【学习目标】 1.会利用已知函数模型解决实际问题． 2.能建立函数模型解决实际问题． 3.通过本节内容的学习，能认识函数模型的作用，提高数学建模，数据分析的能力． 【情境引入】： 爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理. 例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%. 思考1；五期后的本利和是多少？ 答案：解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和. 【温故知新】 1.常见的数学模型有哪些? (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0); (2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0); (3)二次函数模型:f(x)=a+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); 注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最 为常见. (4)指数函数模型:f(x)=a·+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1); (5)对数函数模型:f(x)=m+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1); (6)幂函数模型:f(x)=a+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1); (7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分 广泛. 一、已知函数模型解决实际问题 例1：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型. （2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. （3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿? 一、已知函数模型解决实际问题 （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型. （1）由题意知 = 55 196、= 67 207，设1950 -1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有 67 207=55 196， 由计算工具得 r≈0.021 876. 因此，我国在1950 -1959年期间的人口增长模型为 . 解： 一、已知函数模型解决实际问题 （2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. （2）分别取t=1,2,….,8,由可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数、如下表所示： 解： 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994 根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数 的图象（如下图）. 由表和图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 t 1 2 3 4 5 6 7 8 计算所得人口数（y）/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994 一、已知函数模型解决实际问题 （3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?