3.3.2抛物线的简单几何性质课件1-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质（1） 学习任务： 1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、定点、离心率。（重点） 2.掌握抛物线的焦半径和常见结论。（难点） 复习： 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。 · · F M l N 图 形 焦 点 准 线 标准方程 焦点到准线的距离 2.抛物线的标准方程 P的几何意义: 3.根据抛物线的标准方程如何判断抛物线的焦点位置、开口方向？ ①焦点位置看一次项的变量 一次项的变量为X,则焦点就在对称轴X轴上， 一次项的变量为Y,则焦点就在对称轴Y轴上。 ②开口方向看一次变量的系数正负 系数为正，则开口向右或向上， 系数为负，则开口向左或向下。 1.抛物线的简单几何性质：范围、对称性、定点、离心率 课堂探究 1.范围 y∈R x  0 O 2.对称性 ①关于X轴对称 ②没有对称中心， 因此，通常把抛物线称为无心圆锥曲线。而把椭圆和双曲线称为有心圆锥曲线 。 O 3.顶点 定义:抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点。 O 当y=0时，x=0， 因此抛物线的顶点是原点。 4.离心率 抛物线上的点M与焦点F的距离和点到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。 O F M e=1 圆锥曲线 椭圆 抛物线 双曲线 离心率e 0<e<1 e>1 e=1 方程 图 形 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） e=1 小结： O F 抛物线的性质可以总结为五个“1”：一个顶点， 一个焦点， 一条准线， 一条对称轴， 离心率为1的无心圆锥曲线。 例.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)， 则该抛物线的标准方程为__________________. 解：设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0). 将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 例.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2 ，则抛物线的方程为 . y2＝3x或y2＝－3x 练.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物 线C的方程是 √ 2.抛物线的焦半径和常见结论 例.M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点M 的横坐标为X0，则点M到 焦点的距离是___________ 抛物线的 焦半径公式 O F M 例.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点， 如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于 A.9 B.8 C.7 D.6 √ 例.过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝ |AB|， 则点A到抛物线C的焦点的距离为 √ 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E.∵|PA|＝ |AB|， 练.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程． 例.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： 所以直线与抛物线必有两交点，则y1，y2是方程(*)的两个实数根， 所以y1y2＝－p2. 4.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明:设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N， 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 小结：已知AB是抛物线的焦点弦，且A(x1,x2),B(y1,y2)，点F是抛物线的焦点 标准方程 通径 以AB为直径的圆与抛物线的准线 以焦