依托立体几何，传播数学文化-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

依托立体几何,传播数学文化 ■江苏省梁丰高级中学 黄耀平 立体几何作为高中数学中的一大主干知 识,也是中国古代数学的一个重要载体与应 用场景。从中国古代数学中挖掘立体几何的 相关素材,综合考查立体几何的有关知识,既 符合考生的认知水平,又可以引导考生关注 中华优秀传统文化,成为新高考数学命题中 比较热点的应用之一。 一、空间几何体的表面积或体积问题 例 1 《九章算术》是中国古代的数学 专著,书中记载有如下一个问题:“今有圆亭, 下周三丈,上周两丈,高一丈,问积几何。”意 思为:“今有一圆台体建筑物,下周长为3丈, 上周长为2丈,高为1丈,问它的体积为多 少。”则该建筑物的体积(单位:立方丈)为 ( )。 A. 20+46 3 B. 5+ 6 3 C. 19 3π D. 19 12π 解析:依题知下周长为3丈,则下底面圆 的半径R= 3 2π (丈)。又上周长为2丈,则上底 面圆的半径r= 1 2π (丈)。所以该建筑物的体 积V= 1 3πh (r2+rR+R2)= 19 12π 。故选D。 点评:本题以优美的圆台几何体为背景, 通过测量上、下底面的周长及高来确定对应 的体积问题。圆台是中国古代建筑中比较常 用的一个几何场景,应用非常广泛。 二、立体几何中的空间角问题 例 2 在中国古代数学专著《九章算 术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为 “堑堵”。已知在“堑堵”ABC-A1B1C1 中,AB ⊥AC,AB=AC=AA1= 6,动点 M 在“堑 堵”的侧面 BCC1B1 上运动,且 AM=2,则 ∠MAB 的最大值为( )。 A. π 4 B. 5π 12 C. π 2 D. π 3 解析:在直棱柱ABC-A1B1C1 中,作AO ⊥BC 于点O,所以 AO⊥平面 BCC1,所以 △AOM 为直角三角形。又因为 AB⊥AC, AB=AC=AA1= 6,所以O 为BC 的中点, 且△ABC 是等腰直角三角形,所以 AO= 3。而动点 M 在侧面BCC1B1 上运动,且 AM=2,则 M 在以A 为球心,2为半径的球 图1 面 上,结 合 AO ⊥ 平 面 BCC1,则M 在以O 为圆心, MO= AM2-AO2 =1为 半径的圆上,如图1所示,直 径 为 PQ,所 以 ∠PMQ = π 2 ,∠PMB>∠PMQ= π 2 , 所以BM≤PB。又 AM=2,AB= 6,则当 BM 取最大值BP 时∠BAM 最大,此时BP =23-(3-1)= 3+1,所以cos ∠BAP = AB2+AP2-PB2 2AP·AB = 6- 2 4 =cos 5π 12 。故 选B。 点评:借助特殊空间几何体“堑堵”为问 题场景,通过特殊空间图形中的对应线段长 度与位置关系等来设置,结合动点轨迹的变 化来确定对应空间角的最值问题。这里巧妙 将中国古代的优秀数学文化与立体几何中的 信息加以合理迁移与融合,在考查空间想象 能力的同时也传播数学文化。 三、立体几何中的判断问题 图2 例 3 (多选题)图2改 编自李约瑟所著的《中国科学 技术史》,用于说明元代数学家 郭守敬在编制《授时历》时所做 的 天 文 计 算。图 中 的 AB︵, AC︵,BD︵,CD︵,都是以O 为圆心的圆弧,四边 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月 形CMNK 是为计算所作的矩形,其中 M, N,K 分别在线段OD,OB,OA 上,MN⊥ OB,KN⊥OB。记α=∠AOB,β=∠AOC, γ=∠BOD,δ=∠COD,则( )。 A.sin β=sin γcos δ B.cos β=cos γcos δ C.sin α= sin δ cos β D.cos α= cos γcos δ cos β 解析:由于四边形CMNK 是矩形,可知 KN⊥MN,KN∥CM。又 KN⊥OB,MN∩ OB=N,可得 KN⊥平面BOD,则有 KN⊥ OD,可得CM⊥OD。由sin β= CK OC ,sin γ= MN OM ,cos δ= OM OC ,可得sin γcos δ= MN OC = CK OC=sin β,故选项 A正确;由cos β= OK OC , cos γ= ON OM ,可得cos γcos δ= ON OM ·OM OC= ON OC ≠ OK OC ,故选项B错误;由sin α= KN OK , sin δ= CM OC ,可得sin δ cos β = CM OC ·OC OK= KN OK = sin α,故选项 C正确;由cos α= ON OK ,可