学思探微，归纳剖析——备考不等式及其解法-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

■四川省绵阳实验高级中学 黄 芹 在近几年的高考解答题中,关于不等式 的考查主要包括解一元二次不等式、指对数 不等式、三角不等式等。在高考选填题中,还 常常涉及利用函数图像解不等式、利用函数 单调性解不等式等。本文旨在归纳不等式及 其解法的题目类型,挖掘做题方法和技巧,希 望对同学们的复习备考能有所帮助。 类型一、利用函数图像解不等式 抓住函数图像特征(定义域、值域、对称 性、单调性、周期性和特殊点等),结合函数图 像和选项确定答案。 图1 例 1 (2023年 商 丘 模 拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)在[0,+∞)上的图像如图 1所示,则不等式 x2f(x)> 2f(x)的解集为( )。 A.(- 2,0)∪(2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(- 2,0)∪(2,2) D.(-2,- 2)∪(0,2)∪(2,+∞) 图2 解析:根据奇函数图 像的特征,作出 f(x)在 (-∞,0)上的图像,如图2 所示。 由x2f(x)>2f(x),得 (x2 -2)f(x)>0,则 x2-2>0, f(x)>0 或 x 2-2<0, f(x)<0, 结 合f(x)的图像解得x<-2或 2<x<2或 - 2<x<0。 故所求不等式的解集为(-∞,-2)∪ (- 2,0)∪(2,2)。故选C。 例 2 (2023 年 贵 阳 模 拟)设 函 数 f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x), 且当x∈(0,1] 时,f(x)=x(x-1)。若对 任意的x∈(-∞,m],都有f(x)≥- 1 2 成 立,则m 的取值范围为( )。 A.-∞, 3 2 B.-∞,10- 24 􀭤􀭥 􀪁􀪁 C.-∞, 5 2 D.-∞,10+ 24 􀭤􀭥 􀪁􀪁 解析:已知当x∈(0,1]时,f(x)=x(x -1),f(x+1)=2f(x)。 所以当x∈(1,2]时,f(x)=2f(x-1), 即f(x)向右平移1个单位长度,纵坐标变为 原来的2倍。 图3 当x∈(2,3]时, f(x)=4f(x-2)= 4(x-2)(x-3),如图 3所示。 令4(x-2)(x- 3)=- 1 2 ,解 得 x1= 10- 2 4 ,x2= 10+ 2 4 。 所以要使对任意的x∈(-∞,m],都有 f(x)≥- 1 2 成立,则m≤ 10- 2 4 。 所以 m 的取值范围为 -∞, 10- 2 4 􀭤􀭥 􀪁􀪁 。 故选B。 点睛:对f(x+1)=2f(x)的理解是画 出函数图像的关键。解不等式转化为找y= - 1 2 上方的图像所对应的x 的取值范围。 类型二、由表达式直接运算解不等式 解一元二次不等式、指数不等式、对数不 等式、含绝对值的不等式是直接求解不等式 的常见题型。解指对数不等式的关键是熟练 掌握指对数运算法则及指对数函数的图像特 征。解含绝对值不等式的关键是能否利用零 点分段法去掉绝对值。 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年11月 例 3 (2023年重庆质检)已知函数 f(x)= log2 x,x>1, x2-1,x≤1, 则f(x)<f(x+1)的 解集为 。 解析:当 x≤0时,x+1≤1,f(x)< f(x+1)等价于x2-1<(x+1)2-1,解得 - 1 2<x≤0 ; 当0<x≤1时,x+1>1,此时f(x)= x2-1≤0,f(x+1)=log2(x+1)>0,所以 恒有f(x)<f(x+1); 当x>1时,x+1>2,f(x)<f(x+1) 等价于log2 x<log2(x+1),此时也恒成立。 综上可得,不等式f(x)<f(x+1)的解 集为 - 1 2 ,+∞ 。 点睛:本题的解答可归结为解一元二次 不等式和对数不等式。解对数不等式的关键 是利用对数函数的单调性。 例 4 (2023年南昌模拟)已知函数 f(x)=log3(9x+1)+kx 是偶函数。 (1)求k; (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1)。 解析:(1)因 为 f(x)是 偶 函 数,所 以 f(-x)=f(x),即log3(9-x +1)-kx= log3(9x+1)+kx 对任意的x∈R恒成立,所 以2kx=log3(9-x +1)-log3(9x +1)= log3 9-x+1 9x+1 =log3 3-2x=-2x,所以k=-1。 (2)由(1)得f(x)=log3(9x+1)-x= log3(9x+1)-log3 3x=log3 9x+1 3x =log3 (3x +3-x),则不等式f(x)≥log3(7·3x-1)等 价于3x+3-x≥7·3x-1>0。 由7·3x-1>0,解得x>-log3