内容正文:
单调递增。
②若-
1
2e2
<m<0,则当f'(x)<0时,
得ln(-2m)<x<-2;当f'(x)>0时,得
x<ln(-2m)或 x>-2。所 以 f(x)在
(ln(-2m),-2)上 单 调 递 减,在 (- ∞,
ln(-2m))和(-2,+∞)上单调递增。
③若m=-
1
2e2
,则f'(x)≥0在 R上恒
成立,所以f(x)在R上单调递增。
④若m<-
1
2e2
,则当f'(x)<0时,得
-2<x<ln(-2m);当f'(x)>0时,得x<
-2或x>ln(-2m)。所以f(x)在(-2,
ln(-2m))上 单 调 递 减,在(-∞,-2)和
(ln(-2m),+∞)上单调递增。
点睛:通过判断方程(x+2)(ex+2m)=
0的根的个数及比较方程根的大小来讨论函
数f(x)的单调性。
备考不等式及其解法,打好基础是关键,
基础知识包括熟练掌握基本初等函数的图像
和性质,函数与方程、不等式的关联和转化,
灵活运用函数图像、函数性质解不等式,典型
题目掌握通性通法才能做到融会贯通,灵活
运用。 (责任编辑 王福华)
■四川省绵阳实验高级中学 罗 娟
在高中数学的学习过程中,要注重数学
的不同分支和不同内容之间的联系,高考大
纲也提出了数学整体性和综合性的要求,于
是立体几何与解析几何作为几何的两个分
支,两者“联姻”而成的题型逐渐成为高考与
各省市模拟中的“热点”。这类题型立意新,
知识交叉渗透,有些同学常感到无从下手,本
文将通过所求轨迹的种种类型来介绍如何找
到这类问题的突破口,从而顺利解决问题。
一、轨迹为点型
例 1 已知平面α∥平面β,直线l⊂α,
点P∈l,平面α,β间的距离为4,则在平面β
内到点P 的距离为5且到直线l的距离为
9
2
的点的轨迹是( )。
A.一个圆 B.两条平行直线
C.四个点 D.两个点
图1
解析:如图1,设点P 在平
面β 内的射影是O,则 OP 是
平面α,β 的公垂线,OP=4。
在平面β内到点P 的距离等于
5的点到 O 的距离等于3,可
知所求点的轨迹是平面β 内以O 为圆心,3
为半径的圆。又在平面β内到直线l的距离
等于
9
2
的点的集合是两条平行直线m、n,它
们到点O 的距离为 92
2
-42=
17
2 <3
,
所以直线m、n与这个圆均相交,共有四个交
点,因此所求点的轨迹是四个点。故选C。
点评:
把空间的距离问题转化为平面问
题来解决。
二、轨迹为直线型
例 2 平面α的斜线AB 交α于点B,
过定点A 的动直线l与AB 垂直,且交α于
点C,则动点C 的轨迹是( )。
A.一条直线 B.一个圆
C.一个椭圆 D.双曲线的一支
解析:
设l与l1 是过点A 且与AB 垂直
的任意的两条直线,则这两条直线确定了一
个平面β,由题意可得AB⊥β,由于过一点有
且只有一个平面与已知直线垂直,因此平面
β是唯一的,所以动点C 都在平面α 与β的
交线上。故选A。
9
知识篇 科学备考新指向
高考数学 2023年11月
点评:熟 练 掌 握 立 体 几 何 中 的 公 理、定
理,对于解决问题有很大的帮助。
三、轨迹为曲线型
1.轨迹为椭圆
例 3 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,二
面角A-CC1-B 的大小为30°,动点 M 在平面
ACC1A1 上运动,且 M 到平面BCC1B1 的距
离d=MA,则点 M 的轨迹为( )。
A.直线 B.抛物线
C.双曲线 D.椭圆
图2
解析:如图2,过点 M
作MN 垂直平面BCC1B1
于点 N,作 MD 垂直CC1
于点D,连接 MD,由三垂
线定理得DN⊥CC1,所以
∠MDN=30°,则
1
2MD=MN=MA
,即MA
MD
=
1
2
,由圆锥曲线的第二定义可知点 M 的轨
迹为椭圆。故选D。
点评:利用二面角为定值这一特点转化
为椭圆的定义。
2.轨迹为抛物线
例 4 如 图 3,在 正 方 体 ABCD-
A1B1C1D1 中,P 是侧面BB1C1C 内一动点,
图3
若P 到直线BC 与直线C1D1
的距离相等,则动点P 的轨迹
所在的曲线是( )。
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
解析:由 C1D1 ⊥ 平 面
BB1C1C,得 PC1⊥C1D1,所 以 PC1 就 是
点 P 到直线C1D1 的距离,故条件转化为
点P 到BC 的距离等于点P 到点C1 的距
离。根据抛物线的定义知点 P 的轨迹所
在