探究性创设情境，存在性问题解决—圆锥曲线-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

探究性创设情境,存在性问题解决———圆锥曲线 ■福建省尤溪第一中学 周 平 探究性问题是一种古老的题型,对被测 试对象的潜能及创新能力的考查具有独特之 处,虽历经沧桑,但经久不衰,是试题类型的 一颗常青树;无论是何种类型、何种层次的考 试,探究性问题总是备受命题者的青睐。圆 锥曲线中的探究性问题经常以点的存在性、 直线的存在性及参数的存在性等方式创新设 置,借助是否存在的判断来考查。解决的方 法往往是把探究性问题转化为直线与圆锥曲 线的位置关系等,再加以巧妙地转化与应用。 一、点的存在性问题 例 1 已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)的离心率为 6 2 ,点A(6,4)在双曲线 C 上。 (1)求双曲线C 的标准方程。 (2)已知过点B(1,0)的直线l与双曲线C 交于D,E 两点,试问:在x 轴上是否存在定点 P,使得PD→·PE→ 为常数? 若存在,求出点P 的坐标及该常数的值;若不存在,请说明理由。 解析:(1)因为双曲线C 的离心率为 6 2 , 所以 6 2 2 =1+ b2 a2 ,化简得a2=2b2。将点 A(6,4)代入 x2 2b2 -y 2 b2 =1,得 18 b2 - 16 b2 =1,解得 b2=2,所以双曲线C 的方程为 x2 4- y2 2=1 。 (2)由题可知,直线l的斜率存在,故设 直线l的方程为y=k(x-1),D(x1,y1), E(x2,y2)。 联立方程组 y=k(x-1), x2 4- y2 2=1 , 消去y 整理 得(1-2k2)x2+4k2x-2k2-4=0,所以 x1+x2=- 4k2 1-2k2 ,x1x2=- 2k2+4 1-2k2 。 由题意可知1-2k2≠0且Δ=16k4- 4(1-2k2)(-2k2-4)>0,解得k2< 2 3 且k2 ≠ 1 2 。 设存在符合条件的定点P(t,0),则PD→ =(x1-t,y1),PE→=(x2-t,y2)。 所以 PD→·PE→=(x2-t)(x1-t)+ y1y2=(k2+1)x1x2-(t+k2)(x1+x2)+ t2+k2= 1 1-2k2 [(k2+1)(-2k2-4)+ 4k2(t+k2)+(t2+k2)(1-2k2)]= 1 1-2k2 · [k2(-2t2+4t-5)+(t2-4)]。 因 为 PD→ · PE→ 为 常 数,所 以 -2t2+4t-5 -2 = t2-4 1 ,解得t= 13 4 ,此时该常 数的值为t2-4= 105 16 。 所以在 x 轴上存在点P 134 ,0 ,使得 PD→·PE→ 为常数,该常数为10516。 点评:在处理此类点的存在性探究问题 时,经常是借助题设条件设出该点的坐标,假 设所探究的问题存在,进而将该点的坐标作 为“已知”代入题设条件中去推理、去运算,如 果推理或运算的结果得到的是一个确定的答 案,这就说明假设成立,由此作出正面的回 答;如果推理或运算的结果得到的是一个矛 盾的结果,这就说明假设不成立,由此作出反 面的回答。结合题中信息,通过点的结构特 征,合理设出点的坐标是解题的关键所在。 二、直线的存在性问题 例 2 已知双曲线Γ:x2-y 2 b2 =1(b>0)。 (1)若离心率为 5,求b的值,以及双曲 线Γ 的顶点坐标、渐近线方程。 (2)若b=5,是否存在被点 M(1,1)平分 的弦? 如果这样的弦存在,求出该弦所在直线 的方程;如果这样的弦不存在,请说明理由。 解析:(1)由e= c a=c= 5 ,又a2+b2= c2,得b2=4,所以b=2。 52 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月 因为a=1,所以双曲线Γ 的顶点坐标为 (±1,0),渐近线方程为y=±2x。 (2)当b= 5时,双曲线Γ 的方程为x2- y2 5=1 。 假设存在被点 M(1,1)平分的弦,设弦 的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2,y1+y2=2。 因为A,B 在双曲线Γ 上,所以x21- y21 5 =1,x22- y22 5=1 ,两式相减得(x1+x2)(x1- x2)= (y1+y2)(y1-y2) 5 。 所以kAB= y1-y2 x1-x2 = 5(x1+x2) y1+y2 =5,所 以弦AB 所在直线的方程为y-1=5(x- 1),即y=5x-4。 代入双曲线Γ 的方程得20x2-40x+21 =0,因为Δ=402-4×20×21=-80<0,故 AB 与双曲线Γ 无交点,假设不成立。 故不存在被点 M(1,1)平分的弦。 点评:在解决一些圆锥曲线中的探究性 问题时,对于结论不存在的探究,往往可以假 设其结论的存在性,通过合理的