浅析立体几何中的一类动截面问题&高考数学试题中的线性规划问题-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

■江西省南昌市第三中学 张金生(正高级教师、特级教师) 立体几何试题通常考查点、线、面的位置关 系,距离与角的计算,球与多面体的接切,多面 体的截面等问题。多面体的截面问题是高考的 热点问题,主要考查截面形状的判断,截面的周 长或面积,与截面有关的空间角、距离、位置关 系等问题。这类问题的一个难点就是如何准确 地作出截面,学会截面的作法,对加深空间中 点、线、面的位置关系的理解,提高发现问题、提 出问题、分析问题、解决问题的能力,提升直观 想象、数学建模等核心素养,都有不可忽视的作 用。本文通过研究几个有关动截面的试题,力 求能帮助同学们攻克这类问题。 图1 例 1 如图1,已知四面 体ABCD 为正四面体,AB= 1,E,F 分别是AD,BC 的中 点。若用一个与直线 EF 垂 直,且与四面体的每一个面都 相交的平面α去截该四面体, 由此得到一个多边形截面,则该多边形截面 面积的最大值为( )。 A. 1 4 B. 2 4 C. 3 4 D.1 图2 解析:如图2,将四面体 补形为正方体,点F,E 分别 为上下底面的中心,直线EF 垂 直 截 面 MNKL,则 截 面 MNKL 与正方体的上下底 面平行,由面面平行性质定理 知 MN∥BC∥KL,NK∥AD 图3 ∥ML,所以截面 MNKL 为矩 形。如图3,将平面ABC 与平 面ABD 展开在一个平面上, KL+LM=BC=1,截面周长 为定值,所以S=KL·LM≤ KL+LM 2 2 = 1 4 。故选A。 评注:当题目中有切割或折叠时,同学们 就应该想到补形或展开,这是解决这类问题 的通法。高考试题中那些组合体及非规则几 何体问题,需要用割补思想来灵活求解。 例 2 在正方体ABCD-A'B'C'D'中, 任作平面α与对角线AC'垂直,使得α 与正 方体的每个面都有公共点,记这样得到的截 面多边形的面积为S,周长为l,则( )。 A.S 为定值,l不为定值 B.S 不为定值,l为定值 C.S 与l均为定值 D.S 与l均不为定值 图4 解析:如图4,将正方体 切 去 两 个 正 三 棱 锥 A-A'BD 与C'-D'B'C 后, 得到一个以平行平面A'BD 与D'B'C 为上、下底面的几 何体V,V 的每个侧面都是 等腰直角三角形,截面多边 形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条 边平行,将V 的侧面沿棱A'B'剪开,展开在 一个平面上,得到一个如图5所示的平行四 边形A'B'B1A1。而多边形W 的周界展开后 便成为一条与A'A1 平行的线段,如图5中的 E'E1,显然 E'E1=A'A1,故l为定值。当 E'为A'B'的中点时,多边形 W 为正六边 形;当E'移至A'处时,W 为正三角形。易 知周长为定值l的正六边形与正三角形的 面积分别为6× 3 4 × l 6 2 = 3 24l 2,3 4 × l 3 2 = 3 36l 2,所以S 不为定值。故选B。 图5 53 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年11月 图6 􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃 评注:该题与例1一样,截面周长为定 值,面积在变化有最大值,对 直 观 想 象 要 求 高,同学们可以动手做个模型更便于理解。 例 3 已知正方体的棱长为1,每条棱 所在直线与平面α所成的角都相等,则平面α 截此 正 方 体 所 得 截 面 面 积 的 最 大 值 为 ( )。 A. 33 4 B. 23 3 C. 32 4 D. 3 2 解析:如图6所示,在正 方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 已知平面AB1D1 与棱A1A, A1B1,A1D1 所 成 的 角 都 相 等,又正方体的其余棱都分别 与A1A,A1B1,A1D1 平行,故正方体的每条 棱所在直线与平面 AB1D1 所成的角相等。 取棱 AB,BB1,B1C1,C1D1,DD1,AD 的中 点分别为E,F,G,H,M,N,则正六边形 EFGHMN 所在平面与平面AB1D1 平行且 面积最大,此截面面积为S正六边形EFGHMN=6× 1 2× 2 2× 2 2×sin 60°= 33 4 。故选A。 截面问题本是个难点,加上运动变化后 更是许多同学的痛点, “动”与“静”是事物的 两个方面,深入挖掘几何体结构的本质特征, 从直观感知、操作确认、推理论证、度量计算 等视角探索研究空间图形的性质,在动的表 象下探寻运动过程中“静”的一面,动中求静, 以静制动,克难制胜。 (责任编辑 王