剖析不等式解法及应用的易错点-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

剖析不等式解法及应用的易错点 ■重庆市第一中学校 王 军 不等式是高中数学代数板块的重要组成 部分,与方程,函数等知识联系密切,在高考 中也有着举足轻重的地位。本文将从不等式 的解法与不等式的应用的易错点进行分析, 以期提升同学们的复习效率,规避易错,提高 解题速度和正确率。 一、不等式的解法 不等式的解法的易错点主要有:①系数 需化为正数;②重根的处理需采用“奇次穿偶 次不穿”的方式。 例 1 不等式x-2x ≥2的解集为 。 错解1: x-2 x ≥2⇒x-2≥2x⇒x≤-2 。 错解2: x-2 x ≥2⇒ (x-2)x≥2⇒x2- 2x-2≥0,解得x≥1+ 3或x≤1- 3。 错解3: x-2 x ≥2⇒ x-2-2x x ≥0⇒ (-x -2)x≥0⇒(x+2)x≤0,解得-2≤x≤0。 错因分析:错解1,当x<0时,左右同乘 x 不等号方向会改变;错解2,在将除法改造 为乘法时,没注意到不等式右边是2而不是 0,当右边为0时才能如此操作;错解1,2,3 均没有考虑分母不为0,且答案没有写成集 合的形式。 正解:x-2 x ≥2⇒ x-2-2x x ≥0 且x≠0 ⇒(-x-2)x≥0且x≠0⇒(x+2)x≤0且 x≠0,所以-2≤x<0,故所求不等式的解集 为{x|-2≤x<0}。 二、不等式的应用 1.隐藏条件挖掘不足致错 例 2 若集合A={x|2|x|≥3},B= {x|log2(2-x)<0},则A∩B=( )。 A.x x≤- 3 2 B.x x≥32 C.x 32≤x<2 D.x 32≤x≤2 错解:解得A= x x≤- 3 2 或x≥ 3 2 , 对于集合B,由log2(2-x)<0=log2 1,可得 2-x<1,即x>1,所以B=(1,+∞),所以 A∩B= x x≥ 3 2 。故选B。 错因分析:忽视了对数函数的定义域,要 时刻关注,率先保障每个结构都有意义。 正解:对于集合B,真数为正,即2-x> 0,所以x<2,由log2(2-x)<0=log2 1,可 得2-x<1,即x>1,所以B={x|1<x< 2},所以A∩B= x 32≤x<2 。故选C。 例 3 若方程x+b=3- 4x-x2有两 个不等的实根,则实数b的取值范围为( )。 A.(1-22,1+22) B.(1-22,-1] C.[-1,1+22) D.(1-22,3] 错解:由y=3- 4x-x2 得(x-2)2+ (y-3)2=4,所以直线y=x+b 与圆(x- 2)2+(y-3)2=4有2个公共点,即直线与圆 相交,则圆心(2,3)到直线y=x+b 的距离 d= |2-3+b| 12+(-1)2 <r=2,解得b∈(1-22, 1+22)。故选A。 错因分析:“由y=3- 4x-x2 得(x- 2)2+(y-3)2=4”这一步并非恒等变形,y 的范围发生了改变,需注意这个隐藏条件。 正解:由y=3- 4x-x2 得(x-2)2+ (y-3)2=4(y≤3),所以直线y=x+b与半 圆(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3)有2个公共 图1 点,作 出 直 线 与 半 圆 的 图 形,如图1所示。当直线y =x+b经过点(4,3)时,b= 3-4=-1;当直线y=x+ b与圆(x-2)2+(y-3)2= 4相切时,有 |2-3+b| 1+1 =2, 解得b=1-22或b=1+22(舍去)。由图 72 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年11月 可知,当 直 线 y=x+b 与 曲 线y=3- 4x-x2 有2个公共点时,1-2 2<b≤ -1。故选B。 2.取等条件未验证致错 例 4 设x,y 为实数,若4x2+y2+ xy=1,则 2x+y 6+6xy 的最大值为 。 错解:令2x+y=t,则4x2+y2+xy= (2x+y)2-3xy=t2-3xy=1,所以6+6xy =2(3xy+1)+4=2t2+4,所以 2x+y 6+6xy = t 2t2+4 = 1 2t+ 4 t ≤ 1 28 = 2 8 ,当且仅当t= 2时取等号。 错因分析:约束条件4x2+y2+xy=1 对变量t的范围有所限制,这是一个隐藏极 深的条件,在换元时一定要思考新变元的范 围是否刻画完整,最后要检验基本不等式的 等号能否取到。 正解:因为4x2+y2+xy=1=(2x+y)2 -3xy,所以(2x+y)2-1=3xy= 3 2 ·2x· y≤ 3 2 2x+y 2 2 ,解得2x+y=t≤ 2 10 5 < 2,所以错解中的等号取 不 到,利 用 函 数 g(t)= 1 2t+ 4 t 在区间0, 2 10 5 􀭤􀭥 􀪁􀪁 上单调递增,所 以 2x+y