立足解析几何本质，拾级而上提升素养-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

立足解析几何本质,拾级而上提升素养 ——— 2023年高考数学全国乙卷解析几何试题的评析和建议 ■江西师范大学附属中学 陈选明 2023年高考数学全国乙卷对解析几何部 分主要考查了直线、圆和三类圆锥曲线内容, 实现了对基础知识的全方位覆盖。试题虽然 看似平和,却极具思维含量,真正体现了求解 入口宽,思路多样,突出通性通法等特点,真实 反映考生的基础理解水平,在“反刷题”“反套 路”上下功夫,抑制“秒杀”,不提倡一知半解所 谓的“高观点”。突出强调对基本概念和基本 方法的深入理解和灵活掌握,注重考查学科知 识的综合应用能力。问题设置了合理的思维 强度,在解决问题时设置合适的运算过程和运 算量,下面从试题的考查形式进行评析。 一、直线与圆:回归圆心,注重考查圆的 几何性质 高考试题一般不会单独考查圆,往往都 是结合直线、椭圆等,这类试题的难度为中低 档。对于涉及圆的问题,只要从圆心出发思 考问题,回归圆心基本上都是可行的,也是最 好的视角,正所谓“圆不离心”。 例 1 (2023年全国乙卷理科第12 题)已知☉O 的半径为1,直线PA 与☉O 相 切于点A,直线PB 与☉O 交于B,C 两点,D 为BC 的中点,若|PO|= 2,则PA→·PD→ 的 最大值为( )。 A. 1+ 2 2 B. 1+22 2 C.1+ 2 D.2+ 2 解析:由题意知,|OA|=1,|OP|= 2, 所以∠APO=45°。 图1 由 勾 股 定 理 得 PA = OP2-OA2=1。 如图1所示,当点 A,D 位于 直 线 PO 的 异 侧 时,设 ∠OPC=α,则0≤α≤ π 4 ,所以 PA→·PD→=|PA→|·|PD→|·cosα+π4 = 1× 2cos αcos α+ π 4 = 2cos α · 2 2cos α- 2 2sin α =cos2 α-sin αcos α= 1+cos 2α 2 - 1 2sin 2α= 1 2- 2 2sin2α- π 4 。 因0≤α≤ π 4 ,则- π 4≤2α- π 4≤ π 4 。 所以当2α- π 4=- π 4 时,PA→·PD→ 有最 大值1。 图2 如图2所示,当点 A,D 位于 直 线 PO 的 同 侧 时,设 ∠OPC=α,则0≤α≤ π 4 ,所 以PA→·PD→=|PA→|·|PD→| cosα- π 4 =1× 2cos αcosα- π 4 = 2cos α 2 2cos α+ 2 2sin α =cos2 α+sin αcos α = 1+cos 2α 2 + 1 2 sin 2α = 1 2 + 2 2sin2α+ π 4 。 因0≤α≤ π 4 ,则π 4≤2α+ π 4≤ 3π 4 。 所以当2α+ π 4= π 2 ,即α= π 8 时,PA→· PD→ 有最大值1+ 22 。 综上可得,PA→·PD→ 的最大值为1+ 22 。 故选A。 点评:本题将直线与圆的位置关系和平 面向量有机地进行结合,同学们可以从向量 数量积的概念、几何意义、坐标表示等多种角 度进行思考,命题人对这三种角度的难度做 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年11月 了比较有梯度的设置,用基本概念法需要同 学们对三角函数的知识运用熟练;用几何意 义法需要同学们有一定的平面几何推理能 力;用坐标表示法需要同学们有较高的数学 运算与逻辑推理能力。该题全面考查了向量 的基本概念、向量的数量积运算、三角的恒等 变形及最值、圆的几何性质等,深入考查了化 归与转化思想,以及同学们思维的灵活性与 创新性。 二、圆锥曲线客观题:回归概念与性质, 注重考查平面图形的几何特征 概念反映了数学对象的本质特征,如椭 圆、双曲线和抛物线的概念刻画了相应几何 对象必须满足最典型的数量关系。首先,理 解概念就是理解一个数学问题的基础,如果 不理解概念,解题就无从谈起。其次,解析几 何的对象是形,虽然解析几何是用代数方法 研究“形”的性质,但是其本身“形”的特征还 是要充分尊重的,特别是客观题“重概念考性 质”的特点更加决定了该类题的求解还是要 从概念和性质出发,尽量减少运算。 例 2 (2023年全国乙卷理科第11 题)设A,B 为双曲线x2-y 2 9=1 上两点,则 下列四个点中,可以作为线段 AB 的中点的 是( )。 A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 的中点M x1+x2 2 ,y1+y2 2 ,可得kAB= y1-y2 x1-x2 ,kOM= y1+y2