内容正文:
OE→·OM→
|OE→||OM→|
=
2
2×2
=
2
2
,即平面ADE 与平
面BCF 的 夹 角 的 余 弦 值 为
2
2
,所 以 平 面
ADE 与平面BCF 的夹角的大小为
π
4
。
(3)设P(a,1,0),由(2)知F(0,0,1),所
以FP→=(a,1,-1)。
又OE→=(1,0,1),OP→=(a,1,0),设平面
EOP 的 法 向 量 为 n = (x,y,z),则
n·OE→=x+z=0,
n·OP→=ax+y=0, 令x=-1,得y=a,z
=1,所以n=(-1,a,1)。
所以|cos<FP→,n>|= |-a+a-1|
a2+2× a2+2
=
1
4
,解得a= 2。
所以在线段 AB 上存在点P,使得直线
FP 与平面EOP 所成角的正弦值为
1
4
,此时
AP
AB=
2- 2
2
。
点评:借助中国古代建筑中的“刍甍”这
一常见场景来合理构建立体几何情境,结合
空间线面位置关系的证明、空间角的求解及
存在性问题的确定等设置,来创设立体几何
中的综合应用问题。合理数学文化场景的创
设,融合中国古代建筑并结合立体几何中的
相关知识加以应用。
依托立体几何这一基本场景,通过空间
几何体的构建与应用,合理挖掘立体几何,交
汇中国古代数学文化,融入立体几何的数学
基础知识与基本考点,将数学知识中的“四
基”巧妙融合与应用,合理实现对数学文化的
渗透与数学文化的传播,有效增强同学们的
理性思维与应用意识,培养同学们的爱国主
义情怀。 (责任编辑 王福华)
立体几何中的运动问题
■江苏省灌南高级中学 王 宇
立体几何中的运动问题,以空间几何体
为场景依托,渗透入点、直线、平面、空间角、
空间距离等的运动变化情况,“动”与“静”结
合,内涵深远丰富,融合三维空间的想象能
力,交汇逻辑推理能力等,问题综合性强,灵
活度高,创新新颖,可以在很大程度上优化并
改善同学们的思维定式,优化数学品质,越来
越受到新高考数学命题者的青睐,希望能引
起同学们的重视。
一、动点轨迹问题
立体几何中的动点轨迹问题,立足于立
体几何与解析几何知识的交汇,依托立体几
何的结构特征,结合动点所满足的条件在空
间中确定其相应的变化与轨迹情况,实现空
间图形与平面图形之间的合理转化。
例 1 如图1,正方体ABCD-A1B1C1D1
的棱长为1,点P 为正方形A1B1C1D1 内的动
点,满足直线BP 与下底面ABCD 所成角为60°
的点P 的轨迹长度为 。
图1
分析:根据题设条件,从
几何视角切入,结合立体几
何中的性质,在合理转化直
线与平面所成角的基础上,
转化为对应平面角问题,进
而在相应平面内确定动点的
轨迹问题。解决问题时,联系平面几何与立
体几何,结合逻辑推理与空间想象得以确定
对应的动点轨迹,成为问题解决中最重要的
一个环节,再结合动点轨迹的图形特征来进
一步分析与求解。
解:根据题意,直线BP 与下底面ABCD
所成角等于直线BP 与上底面A1B1C1D1 所
成 角,连 接 B1P,因 为 BB1 ⊥ 平 面
A1B1C1D1,
PB1⊂A1B1C1D1,所以 BB1⊥
PB1,故 ∠BPB1 为 直 线 BP 与 上 底 面
A1B1C1D1 所成角,则有∠BPB1=60°。而
BB1=1,所以PB1=
BB1
tan
60°=
3
3
,故点P 的
91
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2023年11月
轨迹是以B1 为圆心,
3
3
为半径,位于平面
A1B1C1D1 内的圆的
1
4
,故所求轨迹长度为l
=
1
4×2π×
3
3=
3π
6
。故填 3π
6
。
点评:在解决涉及此类动点轨迹的综合
应用问题中,确定立体几何中对应动点的轨
迹是破解问题的关键。灵活掌握立体几何的
结构特征与基本知识是确定动点轨迹的前提
条件,同时还要结合问题场景,渗透空间想象
能力与逻辑推理能力等。
二、展开还原问题
立体几何中的展开还原问题,由立体几
何的直观图形入手加以合理展开,结合展开
后的平面图形的结构特征,还原立体几何中
的点、直线、平面、角度及距离等的关系,进行
三维与二维空间之间的转化与联系。
例 2 足球起源于中国东周时期的齐
国,当时把足球称为“蹴鞠”。汉代蹴鞠是训
练士兵的手段,制定了较为完备的体制。如
专门设置了球场,规定为东西方向的长方形,
两端各设六个对称的“鞠域”,也称“鞠室”,各
由一人把守。比赛分为两队,互有攻守,以踢
进对方鞠室的次数决定