解析几何中轨迹问题的破解策略-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

■江苏省苏州外国语学校 陈建圣 解析几何中轨迹方程的求解一直是该知 识模块中一个最基本的问题。在新教材、新 课程、新高考的“三新”背景下,解析几何中轨 迹问题的求解也呈现出一些新的变化与创 新。解析几何中轨迹方程的求解是新高考中 的一个基本考点,结合轨迹方程的破解策略, 从不同方法与技巧入手,通过实例剖析新高 考轨迹方程求解的一些创新与变化,引领并 指导数学学习与复习备考。 1.直译法 直接通过题目条件加以直译,抓住破解 的基本策略,即通过建系、设点、列式、代换、 证明这五个步骤来构建关系与确定轨迹。 例 1 在平面直角坐标系中,△ABC 的两个顶点A,B 的坐标分别为(-1,0),(1, 0),平面内两点G,M 同时满足以下三个条 件:①G 是△ABC 三条边中线的交点;②M 是△ABC 的外心;③GM∥AB。 (1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程; (2)若点P(2,0)与(1)中轨迹上的点E, F 三点共线,求|PE|·|PF|的取值范围。 解析:(1)设 C(x,y)(y≠0),G(x0, y0),M(xM,yM)。因 为 M 是△ABC 的 外 心,所以 M 在线段AB 的中垂线上,可得xM =0。因为GM∥AB,所以yM=y0。 又G 是△ABC 三条边中线的交点,所以 G 是△ABC 的重心,可得x0= -1+1+x 3 = x 3 ,y0= 0+0+y 3 = y 3 ,所以yM=y0= y 3 。 又因为|MA|=|MC|,所以(0+1)2+ y 3-0 2 =(0-x)2+ y3-y 2 ,化简整理得 x2+y 2 3=1 (y≠0),即△ABC 的顶点C 的轨 迹方程为x2+y 2 3=1 (y≠0)。 (2)因为P,E,F 三点共线,所以P,E, F 三点所在直线斜率存在且不为0。 设所在直线的方程为 y=k(x-2), E(x1,y1),F(x2,y2),联立 y=k(x-2), x2+y 2 3=1 , 消 去参数y 并整理得(3+k2)x2-4k2x+4k2- 3=0,所以x1+x2= 4k2 3+k2 ,x1x2= 4k2-3 3+k2 。 由Δ=(-4k2)2-4(3+k2)(4k2-3)> 0,解得k2<1。 所以|PE|·|PF|= 1+k2|2-x1|· 1+k2|2-x2|=(1+k2)|4-2(x1+x2)+ x1x2|=(1+k2)· 9 3+k2 =9- 18 3+k2 。 又因为0<k2<1,所以3<3+k2<4,则 知3<|PE|·|PF|< 9 2 。 故|PE|·|PF|的取值范围为 3, 9 2 。 点评:此题借助动点C 所对应的△ABC 的相关几何特征,从更高的视角、间接条件并 融合多个信息加以巧妙设置,难度中等,但信 息量大,对同学们的基础知识与基本技能的 要求更高,这也是新高考命题关注数学素养 与能力方面的创新点之一。 2.定义法 根据题目条件确定动点的轨迹是某种已知 曲线(如圆、椭圆、双曲线或抛物线),结合对应 曲线的定义来探求对应动点的轨迹方程。 例 2 如图1,在一张纸上有一圆C: (x+ 3)2+y2=8,定点 M(3,0),折叠纸片 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月 使圆C 上某一点M1 恰好与点 M 重合,这样 每次折叠都会留下一条折痕EF,设折痕EF 与直线M1C 的交点为T。 图2 (1)求 证:||TC|- |TM||为定值,并求出点T 的 轨迹Г 的方程。 (2)已知点A(2,1),直线 l交轨迹Г 于P,Q 两点,直线 AP,AQ 的斜率之和为0。若 tan∠PAQ=22,求△PAQ 的面积。 解析:(1)由 题 意 得 圆 C 的 圆 心 C(- 3,0),半径为2 2,|TM|=|TM1|, 则||TC|-|TM||=||TC|-|TM1||= |CM1|=22<23,根据双曲线的定义,可 知点T 的轨迹是以C,M 为焦点的双曲线。 设该双曲线方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1,则2a= 22,c= 3,所以a= 2,b= c2-a2=1。 所以双曲线Г 的方程为 x2 2-y 2=1。 (2)由(1)知点A(2,1)在双曲线Г 的右 支上,因为直线AP,AQ 的斜率之和为0,不 妨设kAP>0,则kAQ<0。 设直线AP,AQ 的倾斜角为α,β,则α< π 2<β ,且α+β=π。 设∠PAQ=2θ∈ 0, π 2 ,故θ∈ 0,π4 , 则tan 2θ=2 2,即 2tan θ 1-tan2θ =2 2,解 得 tan θ= 2 2 或- 2(舍去),故此时直线AP 的 斜率为tan θ= 2 2 (与渐近线斜率相同,舍去) 或