基本不等式应用的常见技巧策略-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

■徐州中学 孙 慧 基本不等式及其应用是不等式模块中的 一个重要知识点,也是高考中直接应用或间 接应用的一个重要考查点与工具,在众多的 数学知识与相关内容中都有基本不等式的影 子。利用基本不等式解决问题时,需要注意 “一正,二定,三相等”这三个基本条件,这是 应用基本不等式的关键所在。本文结合基本 不等式应用中的常见技巧策略加以实例剖 析,引领并指导数学学习与解题研究,起到抛 砖引玉的作用。 一、常量巧引入,配凑法应用 配凑法的目的就是构建适合基本不等式 应用的基本条件———“和为定值”或“积为定 值”的形式,借助对应代数式的恒等变形与转 化,通过添加项、拆分项等技巧方法,进而利 用基本不等式来解决问题。常见的配凑法就 是对相应的代数式进行配系数、凑常数等变 形处理。 例 1 若x<23 ,则函数f(x)=3x+1 + 9 3x-2 有( )。 A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 解析:因为x< 2 3 ,所以3x-2<0,利用基 本不等式可得函数f(x)=3x+1+ 9 3x-2=3x -2+ 9 3x-2+3=- (2-3x)+ 9 2-3x +3≤ -2 (2-3x)· 9 2-3x+3=-6+3=-3 ,当且 仅当2-3x= 9 2-3x ,即x=- 1 3 时等号成立, 所以函数f(x)=3x+1+ 9 3x-2 有最大值 -3。故选C。 点评:配凑法的根本目的就是合理创设 应用基本不等式的条件,创设“积为定值”或 “和为定值”这一前提条件,这就需要对题设 条件或所求结论的关系式进行一些必要的 配凑处理,配系数、凑常数等技巧方法经常 是借助因式分解、平方处理、增减常数等方 式来达到目的,实现利用基本不等式来解决 问题的目的。 二、乘“1”后变形,代换法应用 代换法就是利用常数的变形,以及代数 式与“1”的积、商都是自身的性质,通过代数 式的变形构造出满足“和为定值”或“积为定 值”的基本形式,符合基本不等式的应用条 件。代换法的本质就是常数与参数之间的灵 活变形与转化,常数化成“1”是代数式等价变 形的基础。 例 2 已知x>0,y>0,且满足x+2y =3xy,则2x+y 的最小值为 。 解析:因为x+2y=3xy,所以 2 3x+ 1 3y =1,由基本不等式可得2x+y=(2x+y)· 2 3x+ 1 3y =2x3y+2y3x+53≥2 2x3y×2y3x+ 5 3= 4 3+ 5 3=3 ,当且仅当2x 3y = 2y 3x ,即x=y 时等号成立,所以2x+y 的最小值为3。故 填3。 点评:代换法应用的根本就是通过常数 与关系式之间的等价关系加以合理代换处 理,具体代换时,可以是乘“1”后变形,也可是 51 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年11月 乘以其他常数进行处理,特别要注意乘常数 后要加以同除处理,保证代数关系式的恒等 变形。 三、双变元首选,消元法应用 消元法就是用来解决一些比较复杂的多 变元的代数式最值问题,借助题设条件,合理 减少变量的个数,经常是转化为只含有一个 变量的代数式,进而利用基本不等式来分析 与应用。消元法的实质就是减元,将多变元 问题转化为单变元问题来处理。 例 3 已知x>0,y>0,x+3y+xy= 9,则x+3y 的最小值为 。 解法一:(换元消元法)已知x+3y+xy =9,利用基本不等式可得9-(x+3y)=xy = 1 3 ·x·3y≤ 1 3 · x+3y 2 2 ,当且仅当x =3y,即x=3,y=1时等号成立,整理上式 得(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+ 3y=t,则t>0,且t2+12t-108≥0,解得t≥ 6,所以x+3y 的最小值为6。故填6。 解法二:(代入消元法)已知 x+3y+ xy=9,则x= 9-3y 1+y ,所以x+3y= 9-3y 1+y + 3y= 9-3y+3y(1+y) 1+y = 9+3y2 1+y = 3(1+y)2-6(1+y)+12 1+y =3(1+y)+ 12 1+y -6≥2 3(1+y)× 12 1+y -6=12-6=6,当 且仅当3(1+y)= 12 1+y ,即y=1,x=3时等 号成立,所以x+3y 的最小值为6。故填6。 点评:消元法的根本目的就是减少变量 的个数,方便配凑出“和为常数”或“积为常 数”的基本形式,为基本不等式的应用指明方 向,从而更加直观有效地利用基本不等式来 分析与求解最值。 四、多层次推进,分步法应用 分步法就是用来解决一些比较复杂的多 变元(一般是三变元及以上)的代数式最值问 题,结合分步法处理,分层次合理加以逐步消 元,不断减少变量的个数,进而吻合基本不等