把握高考最新动向，高效突破解析几何-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

■四川省绵阳实验高级中学 余 强 解析几何部分一直是高考命题的重点和 热点, 2023年高考依然凸显了利用代数方法 研究几何性质和利用几何性质简化运算的本 质,体现在突出主干知识,重视解析几何的本 质、基本思想与方法,考查直观想象、逻辑推 理、数学运算等核心素养。下面以具有代表 性、方向性的试题为载体,对解析几何中的热 点题型进行归类剖析,希望对大家的学习有 所帮助。 一、填空题与选择题的考查方式继续保 持稳定 1.直线与圆主要以选填题的形式出现, 主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位 置关系,注重考查基础知识的应用 例 1 (2023年陕西西安高三模拟)已 知A,B 是圆M:(x-2)2+y2=1上不同的 两个动点,|AB|= 2,O 为坐标原点,则|OA→ +OB→|的取值范围是( )。 A.[2- 2,4+ 2] B.[3- 2,4+ 2] C.[4- 2,4+ 2] D.[2- 2,2+ 2] 解析:由 题 意 知 圆 M 的 圆 心 坐 标 为 M(2,0),半径R=1,设圆心M 到直线l的距 离 为 d,由 圆 的 弦 长 公 式 得|AB|= 2 1-d2,即2 1-d2= 2,解得d= 2 2 。 设AB 的中点为N,|MN|= 2 2 ,所以点 N 的轨迹是以M(2,0)为圆心, 2 2 为半径的圆, 所以点 N 的轨迹方程为(x-2)2+y2= 1 2 。 因为|OA→+OB→|=|2ON→|=2|ON→|,又 |OM|=2,所以|OM|- 2 2≤|ON →|≤|OM| + 2 2 ,即2- 2 2≤|ON →|≤2+ 22,即|OA →+ OB→|的取值范围为 [4- 2,4+ 2]。 故选C。 评注:在处理直线与圆的弦长问题时多 用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成 直角三角形。同时,若已知圆 M 及圆外一定 点O,设圆 M 的半径为r,则圆上点 N 到原 点O 距离的最小值为|ON|=|OM|-r,最 大值为|ON|=|OM|+r。 2.圆锥曲线的选填题依然考查根据条件 求圆锥曲线的方程,以及根据圆锥曲线的方程 研究离心率、夹角、弦长等基本性质 例 2 (2023年福建漳州高三质检)已 知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左焦点和 右焦点分别为F1,F2,以F2 为圆心的圆与x 轴交于F1,B 两点,与y 轴的正半轴交于点 A,线段AF1 与椭圆C 交于点M。若|BM| 与椭圆C 的焦距的比值为 31 3 ,则椭圆C 的 离心率为( )。 A. 3-1 2 B. 1 2 C. 3+1 4 D. 7-1 2 解析:设椭圆的半焦距为c,因为以 F2 为圆心的圆过F1,故该圆的半径为2c,所以 其方程为(x-c)2+y2=4c2。令x=0,则 y=± 3c,结合点A 在y 轴的正半轴上,故 A(0,3c)。令y=0,则x=-c或x=3c,故 B(3c,0)。故kF1A = 3c-0 0-(-c)= 3 ,直线 11 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年11月 F1A:y= 3x+ 3c。设 M(m,3m+ 3c) (m<0),因为点A 在y 轴的正半轴上,F1 在 x 轴的负半轴上,所以 m<0。而|BM|= 31 3 ×2c= 2 31 3 c ,故(3c-m)2+(3m+ 3c)2= 124 9c 2,整理得4m2= 16 9c 2,故 m= - 2 3c ,故y= 3c 3 ,所以 4 9c 2 a2 + 1 3c 2 b2 =1,故 4e2 9 + e2 3(1-e2) =1,整理得4e4-16e2+9= 0,解得e= 7-1 2 。 故选D。 评注:圆锥曲线中离心率的值或范围的 计算是高考的热点问题,求椭圆或双曲线的 离心率或离心率的范围,可以利用椭圆或双 曲线中a,b,c某个量的取值范围确定e;或者 构造a,b,c的齐次不等式确定e。也可利用 图形中的位置关系(如三角形中的边角关系, 曲线上的点到焦点距离的范围等)建立不等 式(不等式组)来确定e。 二、圆锥曲线解答题注重运算和思维的 综合考查 高考中的解析几何解答题依旧是聚焦几 种常见题型,即求轨迹方程、弦长或面积问 题,最值与范围问题,以及有关定点定值的探 究性问题等。 1.求轨迹方程、弦长或面积问题 例 3 (2023年贵州高三联考)已知直 线l1⊥x 轴,垂足为x 轴负半轴上的E,E 关 于原点O 的对称点为F,且|EF|=4,直线 l1⊥l2,垂足为A,线段AF 的垂直平分线与 直线l2 交于点B,记点B 的轨迹为曲线C。 (1)求曲线C 的方程; (2)已知点P(2,4),不过点P 的直线l 与曲线C 交于M,N 两点,以线段 M