解析几何八大典型易错点的纠正与剖析-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

■广东省惠州仲恺中学 陈伟流 解析几何是高中数学几何与代数主线中 的重要内容,其内容涵盖点、直线、曲线等多 种基本概念,涉及对斜率、长度、面积等多种 几何量的求解,在直线与直线、直线与曲线、 曲线与曲线的位置关系情境中考查同学们对 基本方法、基本思想的有效掌握及灵活应用。 但在实际学习中,不少同学却在基本概念、方 法技能、解题思维等方面出现理解偏差、考虑 不周、思维定式等不良现象,远未达到深度理 解并有效掌握的本质性要求。为此,笔者以 解析几何中八大典型易错点为例,在错解纠 正剖析的基础上,进一步点拨相关题型的求 解方法,旨在促进同学们对基本概念、方法技 能及解题思维能有更本质、更全面的认知理 解,从而促进高考备考中的提质增效。 一、斜率与倾斜角关系辨识不清 例 1 设某直线的斜率为k,且k∈ - 3, 3 3 ,则该直线的倾斜角α 的取值范 围是( )。 A.π3 ,5π 6 B.π6 ,2π 3 C.0, π 3 ∪ 5π6,π D.0, π 6 ∪ 2π3,π 错解:由k∈ - 3, 3 3 ,结合tan 2π3= - 3,tan π 6= 3 3 ,得π 6<α< 2π 3 。 剖析:没有正确认识直线的斜率与倾斜 角的关系,认为y=tan α在(0,π)上是递增 函数,出现思维定式的误判。 正解:如图1,函数y=tan α在 0, π 2 上 图1 递增,在 π 2 ,π 上递增。结合 tan 2π 3=- 3<tan α< 3 3= tan π 6 ,得 α ∈ 0, π 6 ∪ 2π 3 ,π 。故选D。 点拨:对于直线斜率与倾斜角的关系判 断或范围求解问题,要用函数思想、数形结合 思想等进行指导解题,确保思维的严密性。 二、平行关系判断中忽略充分性验证 例 2 已知直线x+2ay-1=0与直 线(a-2)x-ay+2=0平行,则a=( )。 A.- 2 3 B.- 2 3 或0 C.0或 3 2 D. 3 2 错解:由两直线平行得-a=2a(a-2), 解得a=0或a= 3 2 。故选C。 剖析:应用两直线的平行关系进行必要 性判断,最后忽略了充分性验证,产生增根。 正 解: 由 两 直 线 平 行 得 -a=2a(a-2), 2≠-(a-2), 解得 a=0或a= 3 2 , a≠0, 所以 a= 3 2 。故选D。 点拨:对于直线l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2⇔A1B2= A2B1 且A1C2≠A2C1;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2 =0,由此可知平行关系判断中需进行 A1C2 ≠A2C1 的充分性验证,避免两直线重复产生 增根,垂直关系中则无需验证。 三、忽略直线方程的适用范围,产生漏解 例 3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截 23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年11月 距之和为0的直线方程。 错解:设直线方程为x a+ y -a=1 ,因为直 线过点(2,4),所以 2 a+ 4 -a=1 ,解得a= -2,代入直线方程得x-y+2=0。 剖析:截距式方程只适用于截距不为0 和不平行于坐标轴的情形,错解中没有考虑 截距为0的情形,导致漏解。 正解:当直线的截距均为0时,直线过原 点,易得其方程为y=2x;当直线的截距均不 为0时,同错解得直线方程为x-y+2=0。 综上可得,所求的直线方程为2x-y=0或x -y+2=0。 点拨:在截距相等(反)、截距绝对值相等 或截距成倍数的情境中应用截距式方程,应 考虑截距为0及不为0的特殊与一般的情 形。同样的,两点式方程也不适用于斜率为 0和斜率不存在的情形,所以应用直线方程 时应充分考虑方程的适用范畴,避免因思维 不严密而出现漏解。 四、忽略圆方程成立的必要条件 例 4 若过点A(4,2)可以作两条直线 与圆C:(x-3m)2+(y-4m)2=25(m+4)2 相切,则点 A 在圆C 的 (填“外部”“内 部”“上面”),实数m 的取值范围是 。 错解:易知点A(4,2)在圆C 的外部,代 入圆C 的方程可得(4-3m)2+(2-4m)2> 25(m+4)2,解得m<- 19 12 。 剖析:忽略圆的半径需大于0的必要条 件,产生思维漏洞。 正解:易知点A(4,2)在圆C 的外部,代 入圆C 的方程得(4-3m)2+(2-4m)2> 25(m+4)2,且25(m+4)2>0,解得 m< - 19 12 且m ≠ -4,故实数 m 的取值范围是 (-∞,-4)∪ -4,- 19 12 。 点拨:对于圆的标准 方 程(x-a)2+ (y-b)2=r2 中的r>0及一般方程x2