“线性规划”复习的“三把钥匙”-《中学生数理化》高考数学2023年11月刊

“线性规划”复习的“三把钥匙” ■四川省绵阳外国语学校 李学军 从近几年的高考试卷来看,线性规划考 点的试题多出现在选择题和填空题中。考查 方向主要集中在三个方面:一是求目标函数 的最值;二是根据目标函数的最值求参数的 取值范围;三是运用“线性规划”思想解决综 合性问题。考查方向的三类问题的一般解法 就是“线性规划”问题的“三把钥匙”。以下举 例说明在高考复习备考中如何获取这“三把 钥匙”。 一、掌握求目标函数最值的基本方法,取 得“入门钥匙” 1.求线性目标函数的最值 例 1 若 实 数 x,y 满 足 约 束 条 件 2x+y≥4, x-2y≤2, y≤2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 求z=2x+y 的取值范围。 图1 解析:根据约束 条件作出可行域,如 图1所示。 目 标 函 数 的 特 征直线l与AC:2x +y-4=0平行,易 得点 A(2,0),联立 x-2y-2=0, y=2, 可得 点B(6,2)。平移直线l经过点A 时,z取最 小值,zmin=2×2+0=4;平移直线l经过点 B 时,z取最大值,zmax=2×6+2=14。所以 z的取值范围为[4,14]。 归纳:求线性目标函数最值的一般步 骤:①正确作图表示可行域,注意边界的虚 实;②将目标函数变形为斜截式y=-2x +z;③找到目标函数的特征直线;④在目 标函数的斜截式方程中,分析纵截距最大 或最小时与目标函数取最大或最小值的对 应关系,从而确定要计算的最优解;⑤计算 最优解,并代入目标函数求出目标函数的 最值。 变式1 已知实数x,y 满足约束条件 2x+y≥4, x-2y≤2, y≤2。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (1)求使目标函数z=3x+y 取最小值 的最优解对应的点(x,y)。 (2)求使目标函数z=x+y 取最小值的 最优解对应的点(x,y)。 图2 分析:(1)如图 2,目标函数z=3x +y 化为y=-3x +z,其 特 征 直 线 y=-3x 的倾斜角 小于可行域的边界 直 线 AC 的 倾 斜 角,故使z=3x+y 取最小值的最优解对应 的点为C(1,2)。 图3 (2)如图3,目 标函数z=x+y 化为y=-x+z, 其特 征 直 线 y= -x 的倾斜角大于 可 行 域 的 边 界 直 线AC 的倾斜角, 故使z=x+y 取最小值的最优解对应的点 为A(2,0)。 归纳:①特征直线与边界直线的倾斜角 的大小关系,直接影响最优解的位置;②目标 函数的最优解有可能不止一个。 变式 2 若 实 数 x,y 满 足 约 束 条 件 2x+y≥4, x-2y≤2, y≤2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 求x-2y 的取值范围。 分析:根据约束条件作出可行域,如图4 所示。令z=x-2y,则y= 1 2x- z 2 ,易得点 A(2,0),联立 2x+y-4=0, y=2 可得点C(1, 2)。平移直线l:y= 1 2x 经过点A 时,z 取 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年11月 图4 最大值,zmax=2-2× 0=2;平移直线l经过 点C 时,z 取最小值, zmin=1-2×2=-3。 所以x-2y 的取 值范围为[-3,2]。 归纳:目 标 函 数 的最值要与截距的最值正确对应,避免在最 优解的选择上出现错误。 2.求非线性目标函数的最值 例 2 若 实 数 x,y 满 足 约 束 条 件 2x+y≥4, x-2y≤2, y≤2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 求y -1 x-6 的取值范围。 图5 解析:根据约束 条件作出可行域,如 图5所 示。y -1 x-6 表 示可行域内的点与定 点D(6,1)连线的斜 率,易 得 边 界 直 线 AD 的斜率= 1-0 6-2= 1 4 ,根据倾斜角的变化 范围可知,y-1 x-6 的取值范围为 -∞, 1 4 。 归纳:求非线性目标函数最值的一般步 骤:①正确作图表示可行域,注意边界的虚 实;②把目标函数抽象成可行域内的点满足 的几何(如斜率、距离等)要素;③根据几何要 素进行动态分析,找到满足条件的可行解的 边界;④根据可行解区域范围及边界的几何 要素的取值,写出目标函数的最值。 变式 1 若 实 数 x,y 满 足 约 束 条 件 图6 2x+y≥4, x-2y≤2, y≤2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 求 y -4 x-3 的取值范围。 分析:根 据 约 束 条件作出 可 行 域,如 图6所示。y -4 x-3 表示 可行域内的点与定点E(3,4)连线的斜率,计 算边界直线的斜率得kCE=1,kEB=- 2 3 ,受 倾斜角范围的影响,斜率(即目标函数值)